Question

如圖所示，半圓有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的圓心O₁在x軸上，OO₁距離等于半圓磁場(chǎng)的半徑，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₁．虛線MN平行x軸且與半圓相切于P點(diǎn)．在MN上方是正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小為E，方向沿x軸負(fù)向，磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₂．B₁、B₂方向均垂直紙面，方向如圖所示．有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向從原點(diǎn)O射入第I象限，其中沿x軸正方向進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子經(jīng)過P點(diǎn)射入MN后，恰好在正交的電磁場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng)，粒子質(zhì)量為m，電荷量為q（粒子重力不計(jì)）．求：
（1）粒子初速度大小和有界半圓磁場(chǎng)的半徑．
（2）若撤去磁場(chǎng)B₂，則經(jīng)過P點(diǎn)射入電場(chǎng)的粒子從y軸出電場(chǎng)時(shí)的坐標(biāo)．
（3）若撤去磁場(chǎng)B₂，設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的初速度與x軸的夾角為θ，試寫出粒子打到y(tǒng)軸上的坐標(biāo)與θ的關(guān)系式．

Answer 1

（1）在MN上方，粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力與電場(chǎng)力平衡，故qv₀B₂=Eq；
解得：v0=

E

B2

由題意知粒子在磁場(chǎng)B₁中圓周運(yùn)動(dòng)半徑與該磁場(chǎng)半徑相同，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有
qv₀B₁=m

v 20

R

解得R=

mv0

qB1

=

mE

qB1B2

（2）在電場(chǎng)中粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)：
x=R=

Eqt2

2m

y=v0t=

E

B2

2mR Eq

=

mE

qB2

2 B1B2

故y′=y+R=

mE

qB2

(

2 B1B2

+

1

B1

)
（3）設(shè)粒子出B₁磁場(chǎng)與半圓磁場(chǎng)邊界交于Q點(diǎn)，如圖所示，

找出軌跡圓心，可以看出四邊形OO₁O₂Q四條邊等長(zhǎng)是平行四邊形，所以半徑O₂Q與OO₁平行．從Q點(diǎn)出磁場(chǎng)速度與O₂Q垂直，所以垂直進(jìn)入MN邊界．
由幾何關(guān)系：x_Q=R-Rsinθ
粒子在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，x_Q=

1

2

at²y′′=R+v₀t a=

qE

m

解上式得：y′′=

mE

qB1B2

+

mE

q B 2

2(1-sinθ) B1B2

答：（1）粒子初速度大小為，有界半圓磁場(chǎng)的半徑為

mE

qB1B2

；
（2）若撤去磁場(chǎng)B₂，則經(jīng)過P點(diǎn)射入電場(chǎng)的粒子從y軸出電場(chǎng)時(shí)的坐標(biāo)為

mE

qB2

(

2 B1B2

+

1

B1

)；
（3）粒子打到y(tǒng)軸上的坐標(biāo)與θ的關(guān)系式為y′′=

mE

qB1B2

+

mE

q B 2

2(1-sinθ) B1B2

．