Question

我國(guó)于2007年10月24日，在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心，將一顆探月衛(wèi)星“嫦娥一號(hào)”成功發(fā)射升空，在經(jīng)歷14天的飛行后，“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星接近月球，實(shí)施首次“制動(dòng)變軌”，進(jìn)入月球捕獲橢圓軌道，又經(jīng)歷兩次“制動(dòng)變軌”，最終進(jìn)入月球200km的環(huán)月預(yù)定工作軌道（如圖所示），開(kāi)展拍攝三維影像等工作．（已知半徑為R的球的體積V=

4

3

πR³）
（1）衛(wèi)星在靠近月球前先進(jìn)行變軌，在預(yù)定點(diǎn)處啟動(dòng)衛(wèi)星上的噴氣推進(jìn)器，為使衛(wèi)星從橢圓軌道進(jìn)入環(huán)月飛行圓軌道，如圖所示，推進(jìn)器是向前噴氣還是向后噴氣？
（2）衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道繞行n圈，飛行時(shí)間為t，已知月球半徑為R₀，月球表面處重力加速度為g₀，試推導(dǎo)衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道上運(yùn)行時(shí)離月球表面高度為h的表達(dá)式；
（3）已知地球和月球的半徑之比為

R

R0

=3.6，表面的重力加速度之比為

g

g0

=6，求地球和月球的密度之比．

Answer 1

分析：“嫦娥一號(hào)”從橢圓軌道進(jìn)入環(huán)月飛行圓軌道，做逐漸靠近圓心的運(yùn)動(dòng)，要實(shí)現(xiàn)這個(gè)運(yùn)動(dòng)必須減小“嫦娥一號(hào)”所需向心力．
“嫦娥一號(hào)”星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列出等式．忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式求解．
根據(jù)密度的公式和已知量表示出密度進(jìn)行之比．

解答：解：（1）“嫦娥一號(hào)”從橢圓軌道進(jìn)入環(huán)月飛行圓軌道，做逐漸靠近圓心的運(yùn)動(dòng)，即做向心運(yùn)動(dòng)，應(yīng)減速，故向前噴氣．
（2）“嫦娥一號(hào)”星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列出等式，

Gm0m

r2

=m

4π2

T2

r  ①
在月球表面，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式：

Gm0m′

R 2 0

=m′g₀  ②
衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道繞行n圈，飛行時(shí)間為t，所以T=

t

n

  ③
r=R₀+h   ④
由①②③④解得：h=

3	g0R 2 0 t2 4n2π2

-R₀
（3）在星球表面，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式

GM m

R 2

=mg   ρ=

M

V

ρ=

3g

4GπR

已知地球和月球的半徑之比為

R

R0

=3.6，表面的重力加速度之比為

g

g0

=6，
所以地球和月球的密度之比

ρ

ρ0

=

gR0

g0R

=

5

3

答：（1）推進(jìn)器是向前噴氣．
（2）衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道上運(yùn)行時(shí)離月球表面高度為h的表達(dá)式是h=

3	g0R 2 0 t2 4n2π2

-R₀；
（3）地球和月球的密度之比是

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查應(yīng)用物理知識(shí)分析研究科技成果的能力，基本原理：建立模型，運(yùn)用萬(wàn)有引力等于向心力研究．
向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．