Question

16．如圖，皮帶傳動(dòng)裝置與水平面的夾角為30°，輪半徑R=$\frac{1}{2π}$m，兩輪軸心相距L=3.75m，A、B分別是傳送帶與兩輪的切點(diǎn)，輪緣與傳送帶之間不打滑，一個(gè)質(zhì)量為0.1kg的小物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．物塊相對(duì)于傳送帶運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)在傳送帶上留下痕跡，當(dāng)傳送帶沿逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，小物塊無初速地放在A點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)飛出．要想使小物塊在傳送帶上留下的痕跡最長(zhǎng)，傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)的速度v至少多大？

Answer 1

分析 小物塊相對(duì)于傳送帶運(yùn)動(dòng)時(shí)，在傳送帶上留下痕跡等于兩者相對(duì)路程的大小，分析傳送帶速度與留下痕跡長(zhǎng)度的關(guān)系確定什么條件下痕跡最長(zhǎng)，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)的最小速度．

解答 解：（1）小物塊在傳送帶上，初始階段速度小于傳送帶向下的速度，相對(duì)傳送帶向上運(yùn)動(dòng)，摩擦力向下，根據(jù)牛頓第二定律
mggsin30°+μmgcos30°=ma
得小物塊的加速度$a=gsin30°+μgcos30°=7.5m/{s}_{\;}^{2}$
傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)的速度越大，小物塊從A點(diǎn)到B點(diǎn)用時(shí)越短，當(dāng)傳送帶速度等于某一值v′時(shí)，小物塊將從A點(diǎn)一直以加速度a做勻加速直線運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，所用時(shí)間最短，設(shè)用時(shí)${t}_{0}^{\;}$，即L=$\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$
解得${t}_{0}^{\;}=1s$
傳送帶的速度要大于$a{t}_{0}^{\;}=7.5m/s$
傳送帶的速度繼續(xù)增大，小物塊從A到B的時(shí)間保持${t}_{0}^{\;}$不變，而小物塊和傳送帶之間的相對(duì)路程繼續(xù)增大，小物塊在傳送帶上留下的痕跡也繼續(xù)增大；當(dāng)痕跡長(zhǎng)度等于傳送帶周長(zhǎng)時(shí)，痕跡為最長(zhǎng)${S}_{max}^{\;}$
設(shè)此時(shí)傳送帶的速度為${v}_{min}^{\;}$，則
${S}_{max}^{\;}=2L+2πR$
${S}_{max}^{\;}={v}_{min}^{\;}{t}_{0}^{\;}-L$
聯(lián)立得${v}_{min}^{\;}=12.25m/s$
所以痕跡最長(zhǎng)時(shí)傳送帶速度最小${v}_{min}^{\;}=12.25m/s$
答：傳送帶的速度至少為12.25m/s

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵之處在于分析五塊的運(yùn)動(dòng)情況，也可以通過作速度圖象分析．