“重力探礦”是常用的探測(cè)石油礦藏的方法之一。其原理可簡(jiǎn)述如下:如圖,P、Q為某地區(qū)水平地面上的兩點(diǎn),在P點(diǎn)正下方一球形區(qū)域內(nèi)儲(chǔ)藏有石油,假定區(qū)域周圍巖石均勻分布,密度為;石油密度遠(yuǎn)小于,可將上述球形區(qū)域視為空腔。如果沒有這一空腔,則該地區(qū)重力加速度(正常值)沿豎直方向;當(dāng)存在空腔時(shí),該地區(qū)重力加速度的大小和方向會(huì)與正常情況有微小偏差。重力加速度在原堅(jiān)直方向(即PO方向)上的投影相對(duì)于正常值的偏離叫做“重力加速度反!。為了探尋石油區(qū)域的位置和石油儲(chǔ)量,常利用P點(diǎn)附近重力加速度反,F(xiàn)象。已知引力常數(shù)為G。
(1)“重力探礦”利用了“割補(bǔ)法”原理:如圖所示,在一個(gè)半徑為R、質(zhì)量為M的均勻球體中,緊貼球的邊緣挖去一個(gè)半徑為R/2的球形空穴后,剩余的陰影部分對(duì)位于球心和空穴中心連線上、與球心相距d的質(zhì)點(diǎn)m的引力是多大?
(2)設(shè)球形空腔體積為V,球心深度為d(遠(yuǎn)小于地球半徑),=x,利用“割補(bǔ)法”原理:如果將近地表的球形空腔填滿密度為的巖石,則該地區(qū)重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常值可通過填充后的球形區(qū)域?qū)處物體m產(chǎn)生的附加引力來計(jì)算,式中M是填充巖石后球形區(qū)域的質(zhì)量,求空腔所引起的Q點(diǎn)處的重力加速度反常值(在OP方向上的分量)
(3)若在水平地面上半徑L的范圍內(nèi)發(fā)現(xiàn):重力加速度反常值在與(k>1)(為常數(shù))之間變化,且重力加速度反常的最大值出現(xiàn)在半為L(zhǎng)的范圍的中心,如果這種反常是由于地下存在某一球形空腔造成的,試求此球形空腔球心的深度和空腔的體積。
(1);(2);(3);
解析試題分析:(1)把整個(gè)球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力F看成是挖去的小球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力F1和剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力F2之和,即F=F1+F2
填補(bǔ)上的空穴的完整球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的引力,挖去的半徑為R/2的小球的質(zhì)量,對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的引力
挖去剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的引力
(2)(1)如果將近地表的球形空腔填滿密度為ρ的巖石,則該地區(qū)重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反?赏ㄟ^填充后的球形區(qū)域產(chǎn)生的附加引力①來計(jì)算,式中的m是Q點(diǎn)處某質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量,M是填充后球形區(qū)域的質(zhì)量,M=ρV②.
而r是球形空腔中心O至Q點(diǎn)的距離,△g在數(shù)值上等于由于存在球形空腔所引起的Q點(diǎn)處重力加速度改變的大。甉點(diǎn)處重力加速度改變的方向沿OQ方向,重力加速度反!鱣′是這一改變?cè)谪Q直方向上的投影,聯(lián)立以上式子得
(3)由(2)結(jié)論可知:重力加速度反!鱣′的最大值和最小值分別為
,,由題意重力加速度反常值在 與 (k>1)( 為常數(shù))之間變化可知:由題設(shè)有,
聯(lián)立以上式子得,地下球形空腔球心的深度和空腔的體積分別為
;
考點(diǎn):萬有引力定律及其應(yīng)用
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科目:高中物理 來源: 題型:單選題
天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)某恒星周圍有一顆行星在圓形軌道上繞其運(yùn)動(dòng),并測(cè)出了行星的軌道半徑和運(yùn)行周期.由此可推算出 ( )
A.行星的質(zhì)量 | B.行星的半徑 | C.恒星的質(zhì)量 | D.恒星的半徑 |
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科目:高中物理 來源: 題型:填空題
⑴若已知地球半徑為R,地球表面的重力加速度為g,月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T,且把月球繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看做是勻速圓周運(yùn)動(dòng)。則月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為
⑵若某位宇航員隨登月飛船登陸月球后,在月球表面某處以速度v0豎直向上拋出一個(gè)小球,經(jīng)過時(shí)間t,小球落回到拋出點(diǎn)。已知月球半徑為R月,萬有引力常量為G。則月球的密度為
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科目:高中物理 來源: 題型:計(jì)算題
某一行星有一質(zhì)量為m的衛(wèi)星,以半徑r,周期T做勻速圓周運(yùn)動(dòng),行星的半徑是R,萬有引力常量為G,求:
(1)行星的質(zhì)量;
(2)行星表面的重力加速度是多少?
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科目:高中物理 來源: 題型:計(jì)算題
某顆人造地球衛(wèi)星在距地面高度為h的圓形軌道上繞地球飛行,其運(yùn)動(dòng)可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知地球半徑為R,地面附近的重力加速度為g。
請(qǐng)推導(dǎo):(1)衛(wèi)星在圓形軌道上運(yùn)行速度 (2)運(yùn)行周期的表達(dá)式。
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科目:高中物理 來源: 題型:計(jì)算題
一位同學(xué)為探月宇航員設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn):在距月球表面高h(yuǎn)處以初速度vo水平拋出一個(gè)物體,然后測(cè)量該平拋物體的水平位移為x,通過查閱資料知道月球的半徑為R,引力常量為G,若物體只受月球引力的作用,求:
(1)月球表面的重力加速度
(2)月球的質(zhì)量
(3)環(huán)繞月球表面運(yùn)行的宇宙飛船的線速度
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科目:高中物理 來源: 題型:計(jì)算題
(15分)按照我國(guó)整個(gè)月球探測(cè)活動(dòng)的計(jì)劃,在第一步“繞月”工程圓滿完成各項(xiàng)目標(biāo)和科學(xué)探測(cè)任務(wù)后,將開展第二步“落月”工程。如圖所示 假設(shè)月球半徑為R,月球表面的重力加速度為g0,飛船沿距月球表面高度為3R的圓形軌道I上運(yùn)動(dòng),當(dāng)運(yùn)動(dòng)到軌道 上的A點(diǎn)時(shí),點(diǎn)火變軌進(jìn)人橢圓軌道II,在到達(dá)軌道的近月點(diǎn)B時(shí)再次點(diǎn)火變軌,進(jìn)入近月軌道III繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)。求:
(1)飛船在軌道I上的運(yùn)行速率;
(2)飛船在軌道III上繞月球運(yùn)動(dòng)一周所需的時(shí)間?
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科目:高中物理 來源: 題型:計(jì)算題
(11分)人們通過對(duì)月相的觀測(cè)發(fā)現(xiàn),當(dāng)月球恰好是上弦月時(shí),如圖甲所示,人們的視線方向與太陽光照射月球的方向正好是垂直的,測(cè)出地球與太陽的連線和地球與月球的連線之間的夾角為θ.當(dāng)月球正好是滿月時(shí),如圖乙所示,太陽、地球、月球大致在一條直線上且地球在太陽和月球之間,這時(shí)人們看到的月球和在白天看到的太陽一樣大(從物體兩端引出的光線在人眼光心處所成的夾角叫做視角,物體在視網(wǎng)膜上所成像的大小決定于視角).已知嫦娥飛船貼近月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T,月球表面的重力加速度為g0,試估算太陽的半徑.
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科目:高中物理 來源: 題型:計(jì)算題
(1)開普勒從1609年~1619年發(fā)表了著名的開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律,其中第一定律為:所有的行星分別在大小不同的橢圓軌道上圍繞太陽運(yùn)動(dòng),太陽在這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。第三定律:所有行星的橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等.實(shí)踐證明,開普勒三定律也適用于其他中心天體的衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)。
(2)從地球表面向火星發(fā)射火星探測(cè)器.設(shè)地球和火星都在同一平面上繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng),火星軌道半徑Rm為地球軌道半徑R0的1.5倍,簡(jiǎn)單而又比較節(jié)省能量的發(fā)射過程可分為兩步進(jìn)行:第一步,在地球表面用火箭對(duì)探測(cè)器進(jìn)行加速,使之獲得足夠動(dòng)能,從而脫離地球引力作用成為一個(gè)沿地球軌道運(yùn)動(dòng)的人造行星。第二步是在適當(dāng)時(shí)刻點(diǎn)燃與探測(cè)器連在一起的火箭發(fā)動(dòng)機(jī),在短時(shí)間內(nèi)對(duì)探測(cè)器沿原方向加速,使其速度數(shù)值增加到適當(dāng)值,從而使得探測(cè)器沿著一個(gè)與地球軌道及火星軌道分別在長(zhǎng)軸兩端相切的半個(gè)橢圓軌道正好射到火星上.當(dāng)探測(cè)器脫離地球并沿地球公轉(zhuǎn)軌道穩(wěn)定運(yùn)行后,在某年3月1日零時(shí)測(cè)得探測(cè)器與火星之間的角距離為60°,如圖所示,問應(yīng)在何年何月何日點(diǎn)燃探測(cè)器上的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)方能使探測(cè)器恰好落在火星表面?(時(shí)間計(jì)算僅需精確到日),已知地球半徑為:;;
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