Question

（15分）如圖所示，是某公園設計的一種驚險刺激的娛樂設施，軌道CD部分粗糙，μ=0.1，其余均光滑。第一個圓管軌道的半徑R=4m，第二個圓管軌道的半徑r=3.6m。一挑戰(zhàn)者質量m=60kg，沿斜面軌道滑下，滑入第一個圓管形軌道（假設轉折處無能量損失），挑戰(zhàn)者到達A、B兩處最高點時剛好對管壁無壓力，然后從平臺上飛入水池內(nèi)，水面離軌道的距離h=1m。g取10 m/s²，管的內(nèi)徑忽略不計，人可視為質點。

求：（1）挑戰(zhàn)者若能完成上述過程，則他應從離水平軌道多高的地方開始下滑?（2）CD部分的長度是多少?（3）挑戰(zhàn)者入水時速度的大小和方向?

Answer 1

⑴ 10m ⑵64m ⑶ 16 m/s 與水面的夾角θ=arctan5/8

試題分析：（1）（4分）在A點無壓力，則 mg=mv_A²/R    （1分）
設從離水平軌道高為H處開始下滑，從靜止開始到A由動能定理得
mgH=mg·2R+ mv_A²/2      （2分）解得H=10m      （1分）
（2）（7分）從開始下滑到C點，由動能定理得mgH=mv_C²/2      （1分）
在B點無壓力，則 mg=mv_B²/r        （1分）
從D點到B點，由動能定理得mv_D²/2=mg·2r+ mv_B²/2      （2分）
從C點到D點，由動能定理得-μmgS_CD=mv_D²/2- mv_C²/2        （2分）
解得 S_CD=64m        （1分）
（3）（5分）設落水點為E，落水時，豎直方向v_y²=2gh  （1分）
解得 v_y="10m/s" （1分）
水平方向速度大小為v_D不變。
解得得v_E≈16 m/s。（1分）
設方向與水面成θ，所以tanθ=v_y/v_D=5/8。  （1分）
解得θ=arctan5/8   （1分）