Question

11．如圖甲所示，固定軌道由傾角為θ的斜導(dǎo)軌與水平導(dǎo)軌用極短的圓弧導(dǎo)軌平滑連接而成，軌道所在空間存在方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，上端用阻值為R的電阻連接．在沿斜導(dǎo)軌向下的拉力（圖中未畫出）作用下，一質(zhì)量為m，電阻也為R的金屬桿MN從斜導(dǎo)軌上某一高度處由靜止開(kāi)始（t=0）沿光滑的斜導(dǎo)軌勻加速下滑，當(dāng)桿MN滑至斜軌道的最低端P₂Q₂處時(shí)撤去拉力，桿MN在粗糙的水平導(dǎo)軌上減速運(yùn)動(dòng)直至停止，其速率v隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖乙所示（其中v_m和t₀為已知）．桿MN始終垂直于導(dǎo)軌并與導(dǎo)軌保持良好接觸，水平導(dǎo)軌和桿MN動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．求：
（1）桿MN中通過(guò)的最大感應(yīng)電流I_m；
（2）桿MN沿斜導(dǎo)軌下滑的過(guò)程中，通過(guò)電阻R的電荷量q；
（3）撤去拉力后，若R上產(chǎn)生的熱量為Q，求桿MN在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的路程s．

Answer 1

分析 （1）判斷速度最大位置，由法拉第電磁感應(yīng)定律結(jié)合閉合電路歐姆定律可求桿MN中通過(guò)的最大感應(yīng)電流I_m；
（2）由法拉第電磁感應(yīng)定律和電流的定義可求通過(guò)電阻R的電荷量q；
（3）由功能關(guān)系和動(dòng)能定理聯(lián)立可求桿MN在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的路程．

解答 解：（1）經(jīng)分析可知，桿MN下滑到P₂Q₂處時(shí)的速度最大（設(shè)為v_m），此時(shí)回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大，且最大值為：E_m=BLv_m
此時(shí)回路中通過(guò)的感應(yīng)電流最大，有：I_m=$\frac{{E}_{m}}{2R}$
解得：I_m=$\frac{BL{v}_{m}}{2R}$
（2）桿MN沿斜導(dǎo)軌下滑的距離為：x=$\frac{{v}_{m}}{2}•{t}_{0}$
在桿MN沿斜導(dǎo)軌下滑的過(guò)程中，穿過(guò)回路的磁通量的變化為：△Ф=BLxcos θ
該過(guò)程，回路中產(chǎn)生的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：$\overline{E}=\frac{△Φ}{{t}_{0}-0}$
回路中通過(guò)的平均感應(yīng)電流為：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{2R}$
又根據(jù)電流定義可得：q=$\overline{I}$t0
解得：q=$\frac{BL{v}_{m}{t}_{0}cosθ}{4R}$
（3）撤去拉力后，整個(gè)回路產(chǎn)生的熱量為：Q=$\frac{R}{R+R}$Q_總
由功能關(guān)系可知：W_安克=Q_總
對(duì)桿由動(dòng)能定理得：-μmgs-W_安克=0-$\frac{1}{2}$mv_m²
聯(lián)立解得：s=$\frac{m{v}_{m}^{2}-4Q}{2μmg}$．
答：（1）桿MN中通過(guò)的最大感應(yīng)電流為$\frac{BL{v}_{m}}{2R}$；
（2）桿MN沿斜導(dǎo)軌下滑的過(guò)程中，通過(guò)電阻R的電荷量為$\frac{BL{v}_{m}{t}_{0}cosθ}{4R}$；
（3）桿MN在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的路程為$\frac{m{v}_{m}^{2}-4Q}{2μmg}$．

點(diǎn)評(píng) 電磁感應(yīng)問(wèn)題經(jīng)常與電路、受力分析、功能關(guān)系等知識(shí)相結(jié)合，是高中知識(shí)的重點(diǎn)，結(jié)合圖象找出速度最大時(shí)感應(yīng)電流最大，是該題的解題關(guān)鍵．