Question

15．某密度均勻的球形天體半徑R=8100km，表面有一圓錐擺，當擺線與豎直方向成θ=30°角時，周期T=πs，擺長L=$\frac{5}{3}\sqrt{3}$m．求：
（1）其表面重力加速度值；
（2）該天體第一宇宙速度多大？
（3）該天體最小圓軌道上運動的衛(wèi)星周期是多少小時？

Answer 1

分析 （1）對小球受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列式求天體表面的重力加速度；
（2）對于天體的近地衛(wèi)星，根據(jù)重力提供向心力，得出第一宇宙速度表達式，即可求解
（3）根據(jù)重力提供向心力，當軌道半徑最小時，周期越小

解答 解：（1）對小球受力分析，根據(jù)牛頓第二定律有
$mgtan30°=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}Lsin30°$
解得：$g=\frac{{4{π^2}Lcos30°}}{T^2}=4×\frac{5}{3}\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}m/{s^2}=10m/{s^2}$
（2）天體的近地衛(wèi)星：
$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
代入解得：${V_1}=\sqrt{gR}=9×{10^3}m/s$
（3）該天體的近地衛(wèi)星，根據(jù)重力提供向心力
$mg=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}R$
代入解得${T}_{衛(wèi)}^{\;}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}=6.28×\sqrt{\frac{81×1{0}_{\;}^{5}}{10}}$=1884s=0.52h
答：（1）其表面重力加速度值$10m/{s}_{\;}^{2}$；
（2）該天體第一宇宙速度9km/s
（3）該天體最小圓軌道上運動的衛(wèi)星周期是0.52小時

點評 本題考查圓周運動和萬有引力定律的綜合，注意理解第一宇宙速度即近地衛(wèi)星的運行速度，注意第一宇宙速度公式的推導．