Question

13．如圖所示，內壁光滑、半徑為R的圓形軌道固定在豎直平面內，質量為m₂的小球靜止在軌道最低點，另一質量為m₁的小球（兩球均可視為質點）從左側內壁與圓心O等高處由靜止釋放，第一次運動到最低點時與m₂碰撞，碰后m₂小球恰好能做完整的圓周運動，而m₁小球沿右側內壁上升的最大高度為$\frac{1}{2}$R．求：
（1）$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$₁；
（2）求第一次碰撞剛結束時，m₂小球和m₁小球對軌道的壓力之比$\frac{{F}_{2}}{{F}_{1}}$．（結果可用根式表示）

Answer 1

分析 （1）對小球m₁的小球下落過程分析，根據機械能守恒定律可求得碰前的速度，再分別根據碰后兩球的運動情況進行分析，求出碰后各自的速度，再根據動量守恒定律列式即可求得質量之比；
（2）對碰后兩球受力分析，根據向心力公式即可求得壓力大小之比．

解答 解：（1）對m₁的小球下落過程分析，根據機械能守恒定律可知：
m₂gR=$\frac{1}{2}$m₂v²
解得：v=$\sqrt{2gR}$；
對m₁球受力分析小球恰上升高度為$\frac{1}{2}$R，則根據機械能守恒可知：
m₁g$\frac{1}{2}R$=$\frac{1}{2}$m₁v₁²
解得：v₁=$\sqrt{gR}$
m₂恰好做勻速圓周運動，則在最高點有：m₂g=m₂$\frac{{v'}_{2}^{2}}{R}$
對于上升過程，由機械能守恒定律可知：
m₂g•2R=$\frac{1}{2}$m₂v₂²-$\frac{1}{2}$m₂v'₂²
聯立解得：v₂=$\sqrt{5gR}$
設向右為正方向，兩球碰撞過程中，動量守恒，則根據動量守恒定律可知
m₁v=m₁v₁+m₂v₂
代入數據解得：$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$=$\sqrt{5}$（$\sqrt{2}$+1）
（2）根據向心力公式可知，對m₁球有：
F₁-m₁g=m₁$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
對m₂球有：
F₂-m₂g=m₂$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
聯立解得：$\frac{{F}_{2}}{{F}_{1}}$=$\frac{3{m}_{2}}{{m}_{1}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}（\sqrt{2}+1）}$=$\frac{3\sqrt{5}（\sqrt{2}-1）}{5}$
答：（1）$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$大小為$\sqrt{5}$（$\sqrt{2}$+1）
（2）求第一次碰撞剛結束時，m₂小球和m₁小球對軌道的壓力之比$\frac{{F}_{2}}{{F}_{1}}$為$\frac{3\sqrt{5}（\sqrt{2}-1）}{5}$．

點評 本題綜合考查了動量守恒、機械能守恒，以及向心力公式等基本內容，要注意正確分析過程，明確在碰撞過程中內力遠大小外力可以視為動量守恒，同時再注意小球通過最高點的臨界條件分析．