(10分)如圖所示,AB是傾角為的粗糙直軌道,BCD是光滑的圓弧軌道,AB恰好在B點與圓弧相切,圓弧的半徑為R。一個質量為m的物體(可以看作質點)從直軌道上的某處P點由靜止釋放,沿軌道下滑,結果它第一次在圓弧軌道上運動時,恰能運動到與圓心O等高處的C點。已知BO與豎直方向夾角等于直軌道傾角,物體與軌道AB間的動摩擦因數(shù)為。求:
(1)物體做往返運動的整個過程中,在AB軌道上通過的總路程;
(2)最終當物體通過圓弧軌道最低點E時,對圓弧軌道的壓力.
解析:
(1)設P離圓心O所處的水平面的高度為h如圖所示。物體每作一次往復運動。在上能上升的最大高度都減小一些,最終當它到達B點時,速度變?yōu)榱恪?/p>
考慮物體從P點出發(fā),第一次到達C處時,速度為零,根據(jù)動能定理,有
解得 ①
從P點出發(fā),最終到達B點速度為零的全過程,根據(jù)動能定理,有
②
式子中L總為物體在AB軌道上通過的總路程
將①代入②求得
解上式,可得
第一問,另解:
設P到B的距離為L,考慮從P點出發(fā),第一次到達C時速度為零,根據(jù)動能定理有:
解得:
再考慮物體從C出發(fā),最終到達B點速度為零的全過程,根據(jù)動能定理,有
式子中L’為物體從C開始滑動后,在AB軌道上通過的總路程
解上式,可得
所以全過程中,物體在AB軌道上通過的總路程為
將①②代入上式求得
(2)最終物體以B(還有B關于OE的對稱點)為最高點在圓弧軌道底部作往返運動。設物體從B運動到E,速度到達,根據(jù)機械能守恒定律有:
在E點根據(jù)牛頓第二定律,有
聯(lián)立以上兩式,解得
所以,物體對圓弧軌道的壓力
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