Question

（2012?南通一模）如圖所示，在xoy平面內(nèi)第二象限的某區(qū)域存在一個矩形勻強磁場區(qū)，磁場方向垂直xoy平面向里，邊界分別平行于x軸和y軸．一電荷量為e、質量為m的電子，從坐標原點O以速度v₀射入第二象限，速度方向與y軸正方向成45°角，經(jīng)過磁場偏轉后，通過P（0，a）點，速度方向垂直于y軸，不計電子的重力．
（1）若磁場的磁感應強度大小為B₀，求電子在磁場中的運動時間t；
（2）為使電子完成上述運動，求磁感應強度B的大小應滿足的條件；
（3）若電子到達y軸上P點時，撤去矩形勻強磁場，同時在y軸右側加方向垂直xoy平面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B₁，在y軸左側加方向垂直xoy平面向里的勻強磁場，電子在第（k+1）次從左向右經(jīng)過y軸（經(jīng)過P點為第1次）時恰好通過坐標原點，求y軸左側磁場磁感應強度的大小B₂及上述過程電子的運動時間t．

Answer 1

分析：（1）電子在磁場中由洛倫茲力提供向心力而做勻速圓周運動，確定電子圓周運動的圓心角，由t=

θ

2π

T求出時間t；
（2）當磁感應強度最小時，電子回旋半徑最大，由幾何知識求出最大半徑，即可求得B的最小值，從而可求得磁感應強度B的大小應滿足的條件．
（3）由幾何知識求得電子在y軸右側和左側做圓周運動的半徑與a的關系，即可求出B₂．并求出時間．

解答：解：（1）如圖甲所示，電子在磁場中轉過的角度θ=

3π

4

運動周期  T=

2πm

eB0

則電子在磁場中的運動時間t=

θ

2π

T
解得  t=

3πm

4eB0

（2）設磁感應強度最小值為B_min，對應最大回旋半徑為R，圓心O₁，則有
   ev0Bmin=

m v 2 0

R

由幾何關系得 R+

2

R=a
解得  Bmin=

( 2 +1)mv0

ea

則磁感應強度B應滿足的條件為  B≥

( 2 +1)mv0

ea

（3）設電子在y軸右側和左側做圓周運動的半徑分別為r₁和r₂，則有ev0B1=

m v 2 0

r1

，ev0B2=

m v 2 0

r2

如圖乙的幾何關系可知2k（r₁-r₂）=a
解得  B2=

2kmv0B1

2kmv0-aeB1

設電子在y軸右側和左側做圓周運動的周期分別為T₁和T₂，則
  T1=

2πm

eB1

，
  T2=

2πm

eB2

t=k?

T1+T2

2

解得  t=

2kπm

eB1

-

πa

2v0

解：
（1）若磁場的磁感應強度大小為B₀，電子在磁場中的運動時間t是

3πm

4eB0

；
（2）為使電子完成上述運動，磁感應強度B的大小應滿足的條件是 B≥

( 2 +1)mv0

ea

；
（3）y軸左側磁場磁感應強度的大小B₂為

2kmv0B1

2kmv0-aeB1

，上述過程電子的運動時間t為

2kπm

eB1

-

πa

2v0

．

點評：本題的解題關鍵是根據(jù)幾何知識求出電子回旋的最大半徑，根據(jù)圓心角，由t=

θ

2π

T求時間是常用的方法，要熟練掌握．