Question

如圖甲所示，間距為L(zhǎng)=0.3m、足夠長(zhǎng)的固定光滑平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ與水平面成θ=30°角，左端M、P之間連接有電流傳感器和阻值為R=0.4Ω的定值電阻．導(dǎo)軌上垂直停放一質(zhì)量為m=0.1kg、電阻為r=0.20Ω的金屬桿ab，且與導(dǎo)軌接觸良好，整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直導(dǎo)軌平面向下、大小為B=0.50T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．在t=0時(shí)刻，用一與導(dǎo)軌平面平行的外力F斜向上拉金屬桿ab，使之從由靜止開(kāi)始沿導(dǎo)軌平面斜向上做直線運(yùn)動(dòng)，電流傳感器將通過(guò)R的電流i即時(shí)采集并輸入電腦，可獲得電流i隨時(shí)間t變化的關(guān)系圖線，如圖乙所示．電流傳感器和導(dǎo)軌的電阻及空氣阻力均忽略不計(jì)，重力加速度大小為g=10m/s²．
（1）求2s時(shí)刻桿ab的速度υ大��；
（2）試證明金屬桿做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，并計(jì)算加速度a的大�。�
（3）求從靜止開(kāi)始在2秒內(nèi)通過(guò)金屬桿ab橫截面的電量q；
（4）求2s時(shí)刻外力F的功率P．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)2s時(shí)刻的電流通過(guò)閉合電路歐姆定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，從而根據(jù)E=BLv求出桿ab的速度大小．
（2）通過(guò)閉合電路歐姆定律，結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小公式，推導(dǎo)出速度與時(shí)間的關(guān)系，看是否成正比關(guān)系，從而判斷金屬桿是否做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．通過(guò)v=at得出加速度的大�。�
（3）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，從而得出平均電流，根據(jù)q=It求出2秒內(nèi)通過(guò)金屬桿ab橫截面的電量q．也可以通過(guò)I-t圖線與時(shí)間軸所圍成的面積表示電量進(jìn)行求解．
（4）根據(jù)牛頓第二定律求出2s時(shí)刻的拉力，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出2s末的速度，從而根據(jù)P=Fv求出2s時(shí)刻外力F的功率P．

解答：解：（1）設(shè)2s時(shí)刻的速度為v₂，桿ab切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=BLv₂
根據(jù)閉合電路歐姆定律有：E=I（ R+r ）                                         
由以上兩式解得：v₂=

I(R+r)

BL

=

0.5(0.4+0.2)

0.5×0.3

m/s=2m/s
（2）v=

I(R+r)

BL

=

R+r

BL

kt
因v與t是一次函數(shù)，故金屬桿做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．           
其加速度大�。篴=

R+r

BL

k=

0.4+0.2

0.5×0.3

×

1

4

=1m/s2
（3）方法一：q=

.

I

△t=

. E

R+r

△t=

BS

△t(R+r)

△t=

BS

R+r

=

BL 1 2 at2

R+r

=0.5C
方法二：由i-t圖象可知：q=

.

I

△t=

1

2

×2.0×0.5C=0.5C
（4）2s時(shí)刻的安培力：F_安=BIL=

B2L2v

R+r

=

0.52×0.32×2

0.4+0.2

=7.5×10-2N
由牛頓第二定律得：F-F_安-mgsinθ=ma                                  
則此時(shí)的外力：F=F_安+mgsinθ+ma=7.5×10^-2N+0.1×10×0.5N+0.1×1N=0.675N  
則功率：P=Fv=0.675×2W=1.35W      
答：（1）2s時(shí)刻桿ab的速度υ大小為2m/s．
（2）加速度a的大小為1m/s²．
（3）從靜止開(kāi)始在2秒內(nèi)通過(guò)金屬桿ab橫截面的電量q為0.5C．
（4）2s時(shí)刻外力F的功率P為1.35W．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律、牛頓第二定律等，綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生能力的要求較高．