Question

9．皮帶裝置如圖所示，其中AB段是水平的，長度L_AB=4m，BC段是傾斜的，長度L_BC=5m，與水平面成θ=37°角，AB和BC在B點(diǎn)通過一段極短的圓弧連接（圖中未畫出圓�。�，傳送帶以v=4m/s的恒定速率順時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)．已知工作與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，重力加速度g=10m/s²．現(xiàn)將一個(gè)質(zhì)量m=1kg的工件（可看做質(zhì)點(diǎn)）無初速度地放在A點(diǎn)，求：
（1）工件第一次到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間．
（2）工件沿BC上行時(shí)，對傳送帶的摩擦力．
（3）工件沿傳送帶上升的最大高度．
（4）工件運(yùn)動(dòng)了23s時(shí)距離B點(diǎn)多遠(yuǎn)．

Answer 1

分析 （1）工件剛放在水平傳送帶上進(jìn)行受力分析，運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解；
（2）由于mgsinθ＞μmgcosθ，工件相對于傳送帶滑動(dòng)，得到摩擦力；
（3）由動(dòng)能定理求解工件上升的最大高度；
（4）由于工件在傳送帶的傾斜段運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度相同，在傳送帶的水平段運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度也相同，故工件將在傳送帶上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，找出這個(gè)過程中時(shí)間的關(guān)系．

解答 解：（1）工件剛放在水平傳送帶上的加速度為a₁
由牛頓第二定律得：μmg=ma₁
解得：a₁=μg=5m/s²
經(jīng)t₁時(shí)間與傳送帶的速度相同，則t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$=0.8 s
前進(jìn)的位移為x₁=$\frac{1}{2}$a₁t₁²=1.6 m
此后工件將與傳送帶一起勻速運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)，用時(shí)t₂=$\frac{{L}_{AB}{-x}_{1}}{v}$=0.6 s
所以工件第一次到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間：t=t₁+t₂=1.4 s
（2）由于mgsinθ＞μmgcosθ，工件相對于傳送帶滑動(dòng)，則對傳送帶的摩擦力：f=μmgcosθ=4N
（3）設(shè)工件上升的最大高度為h，由動(dòng)能定理得：（μmgcos θ-mgsin θ）$•\frac{h}{sinθ}$=0-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：h=2.4 m
（4）工件沿傳送帶向上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₃=$\frac{2h}{vsinθ}$=2 s
此后由于工件在傳送帶的傾斜段運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度相同，在傳送帶的水平段運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度也相同，故工件將在傳送帶上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，其周期為T
T=2t₁+2t₃=5.6 s
工件從開始運(yùn)動(dòng)到第一次返回傳送帶的水平部分，且速度變?yōu)榱闼�需時(shí)間：
t₀=2t₁+t₂+2t₃=6.2 s
而23s=t₀+3T
這說明經(jīng)23s工件運(yùn)動(dòng)到傳送帶的水平部分，且恰好速度為零．
故工件在B點(diǎn)左側(cè)，到B點(diǎn)的距離x=x₁=1.6 m
答：（1）工件第一次到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間是1.4 s；
（2）工件沿BC上行時(shí)，對傳送帶的摩擦力為4N；
（3）工件沿傳送帶上升的最大高度是2.4 m；
（4）工件運(yùn)動(dòng)了23s時(shí)所在的位置是工件在A點(diǎn)右側(cè)，到A點(diǎn)的距離是1.6 m．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵分析清楚工件的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)牛頓第二定律求解出加速過程的加速度，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和動(dòng)能定理列式求解．