Question

6．如圖所示，水平虛線MN下方有一豎直向上的勻強(qiáng)電場，一根輕質(zhì)絕緣桿（質(zhì)量不計(jì)）兩端分別套有A、B兩個(gè)小球，A球的質(zhì)量為m，帶正電，在勻強(qiáng)電場中受到的電場力為其重力大小的3倍，A球和桿間的滑動(dòng)摩擦力的大小等于其重力大�。瓸球的質(zhì)量為3m，不帶電，B球和桿間的滑動(dòng)摩擦力大小也等于其重力大小，設(shè)兩球的最大靜摩擦力均等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g．開始時(shí)A、B球和桿均靜止，A球距MN高度為h，同時(shí)釋放A、B兩球和桿，當(dāng)A球第二次進(jìn)入電場區(qū)域時(shí)，A、B兩球恰好相遇，運(yùn)動(dòng)過程中桿始終保持豎直狀態(tài)．求：
（1）A球運(yùn)動(dòng)過程中的最大電勢能（設(shè)MN處電勢為零）；
（2）從A球第一次進(jìn)入電場到A球第二次進(jìn)入電場的過程中經(jīng)歷的時(shí)間及桿的長度．

Answer 1

分析 （1）由機(jī)械能守恒求出A到達(dá)MN時(shí)的速度，A進(jìn)入電場后，由牛頓第二定律求出加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式即可求出A在電場中的位移，由電場力做功即可求出電勢能的變化；
（2）由△v=a△t求出A的速度減小為0的時(shí)間，然后對B進(jìn)行受力分析，求出B的加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式求出B的速度和位移；
此后A向上做加速運(yùn)動(dòng)，求出其加速度以及返回MN的時(shí)間；重新分析A在MN以上的受力，由牛頓第二定律求出加速度以及向上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；同理分析B的運(yùn)動(dòng)；
A向上到達(dá)最高點(diǎn)后再向下運(yùn)動(dòng)，結(jié)合受力分析，求出對應(yīng)的時(shí)間，再求出B的位移．最后由幾何關(guān)系求出桿的長度．

解答 解：（1）設(shè)A球開始進(jìn)入電場的速度為v₀，根據(jù)機(jī)械能守恒得：
$4mgh=\frac{1}{2}•4m{v}_{0}^{2}$
所以：${v}_{0}=\sqrt{2gh}$
A球在電場中受到的電場力是重力的3倍，即F=3mg，則A球向下做減速運(yùn)動(dòng)，相對于桿向上運(yùn)動(dòng)，A球的受力如圖1，所以：

F-mg-f_A=ma_A1
其中：f_A=mg
結(jié)合已知的條件得：a_A1=g方向豎直向上
A球減速到速度等于0的時(shí)間：${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{{a}_{A1}}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$
向下運(yùn)動(dòng)的位移：${x}_{A1}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{A1}}$
聯(lián)立得：x_A1=h
電場力對A球做負(fù)功，W=-Fh=-3mgh
該過程中A的電勢能增大，所以A球的最大電勢能為3mgh
（2）桿的質(zhì)量為0，所以桿受到的合力為0，A球?qū)�桿有向上的摩擦力，大小為f_A=mg，所以B對桿有向下的摩擦力，大小也是mg，小于B與桿之間的最大靜摩擦力，所以B與桿相對靜止，對B球和桿受力分析如圖2，B球和桿一起向下做加速運(yùn)動(dòng)，有：
3mg-f_A=3ma_B
聯(lián)立得：${a}_{B}=\frac{2g}{3}$
在A球的速度減小為0時(shí)，B球和桿的速度為：${v}_{B1}={v}_{0}+{a}_{B}{t}_{1}=\frac{5}{3}\sqrt{2gh}$
位移：${x}_{B1}={v}_{0}t+\frac{1}{2}{a}_{B}{t}_{1}^{2}=\frac{8}{3}h$
A球的速度減小為0后向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，仍然受到向上的電場力和向下的摩擦力，所以A的加速度不變，則：a_A2=a_A1=g
再經(jīng)過時(shí)間t₂=${t}_{1}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$的時(shí)間，A向上以受到v₀經(jīng)過水平線MN，則x_A2=h
此過程中B和桿始終向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度不變；
A球向上離開MN時(shí)，B的速度：v_B2=v_B1+a_Bt₂
整理得：${v}_{B2}=\frac{7}{3}\sqrt{2gh}$
向下運(yùn)動(dòng)的位移：${x}_{B2}=\frac{（{v}_{B1}+{v}_{B2}）}{2}•{t}_{2}=4h$
A球向上減速到0的過程中，受到向下的重力和摩擦力的作用，做減速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)：f_A+mg=ma_A3
得：a_A3=2g，加速度的方向向下，
A向上減速到0的過程中經(jīng)歷的時(shí)間：${t}_{3}=\frac{{v}_{0}}{{a}_{A3}}=\sqrt{\frac{h}{2g}}$
向上運(yùn)動(dòng)的位移：${x}_{A3}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{A3}}=\frac{h}{2}$
A的速度為0時(shí)，B和桿的速度：v_B3=v_B2+a_Bt₃
整理得：${v}_{B3}=\frac{8}{3}\sqrt{2gh}$
向下運(yùn)動(dòng)的位移：${x}_{B3}=\frac{（{v}_{B2}+{v}_{B3}）}{2}•{t}_{3}=\frac{5}{2}h$
A球向上減速為0后受到向下的重力和摩擦力的作用，做加速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)的加速度與向上減速的加速度相等：a_A4=a_A3=2g，加速度的方向向下，
向下運(yùn)動(dòng)到達(dá)MN的時(shí)間：${t}_{4}={t}_{3}=\sqrt{\frac{h}{2g}}$
向下的位移：${x}_{A4}={x}_{A3}=\frac{1}{2}h$，此時(shí)第二次進(jìn)入電場．
B球和桿向下的速度：${v}_{B4}={v}_{B3}+{a}_{B}{t}_{4}=3\sqrt{2gh}$
向下的位移：${x}_{B4}=\frac{（{v}_{B3}+{v}_{B4}）}{2}•{t}_{4}$
聯(lián)立得：${x}_{B4}=\frac{17}{6}h$
從A球第一次進(jìn)入電場到A球第二次進(jìn)入電場，A、B兩球的運(yùn)動(dòng)曲線如圖3，該過程的總時(shí)間：

t=t₁+t₂+t₃+t₄
桿的長度：l=（x_B1-x_A1）+（x_B2-x_A2）+（x_B3-x_A3）+（x_B4-x_A4）
聯(lián)立得：t=$3\sqrt{\frac{2h}{g}}$，l=12h
答：（1）A球運(yùn)動(dòng)過程中的最大電勢能是3mgh；
（2）從A球第一次進(jìn)入電場到A球第二次進(jìn)入電場的過程中經(jīng)歷的時(shí)間是$3\sqrt{\frac{2h}{g}}$，桿的長度是12h．

點(diǎn)評 本題有一定的難度，要注意受力的變化導(dǎo)致加速度變化，運(yùn)動(dòng)過程要分析清楚，分階段計(jì)算，比較好．