Question

15．某游樂場(chǎng)中一種玩具車的運(yùn)動(dòng)情況可以簡(jiǎn)化為如下模型：如圖所示，軌道ABCD位于豎直平面內(nèi)，水平軌道AB與豎直半圓軌道BCD相切于B點(diǎn)，C點(diǎn)與圓心O等高，質(zhì)量m=10kg的小車Q（可視為質(zhì)點(diǎn)）靜止在水平軌道上的點(diǎn)A，已知A點(diǎn)與B點(diǎn)相距L=40m（圖中AB之間的虛線表示未畫完整的水平軌道），豎直圓軌道的半徑R=3m，圓弧光滑；小車在水平軌道AB間運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力恒為其重力的0.25倍．其它摩擦與空氣阻力均忽略不計(jì)．（g取10m/s²）
（1）若小車在水平軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)受到水平向右的恒力F的作用，使小車恰好能到達(dá)半圓軌道的C點(diǎn)，求恒力F的大小．
（2）若小車在適當(dāng)?shù)睦�力作用下，恰好能到達(dá)豎直半圓軌道的最高點(diǎn)D，求小車經(jīng)過半圓軌道B點(diǎn)時(shí)受到的支持力大�。�
（3）若小車用自帶的電動(dòng)機(jī)提供動(dòng)力，電動(dòng)機(jī)輸出功率恒為P=50W，要使小車不脫離軌道，求發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間t需滿足的條件（設(shè)經(jīng)過所求的時(shí)間，小車還沒到B點(diǎn)）．

Answer 1

分析 （1）對(duì)于AC過程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式，可求得F的大�。�
（2）小車恰好能到達(dá)豎直半圓軌道的最高點(diǎn)D，在D點(diǎn)，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可求得D點(diǎn)的速度．B到D過程，由機(jī)械能守恒定律求出小車通過B點(diǎn)的速度．再由牛頓第二定律求小車經(jīng)過半圓軌道B點(diǎn)時(shí)受到的支持力大小．
（3）小車不脫離軌道有兩種情況：一是小車上升的高度不超過C點(diǎn)．二是能通過最高點(diǎn)D，根據(jù)臨界條件和動(dòng)能定理結(jié)合解答．

解答 解：（1）從A到C，由動(dòng)能定理可得：
FL-μmgL-mgR=0-0
代入數(shù)據(jù)解得：F=32.5N
（2）小車恰好能到達(dá)豎直半圓軌道的最高點(diǎn)D，在D點(diǎn)，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
小車由B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過程中，由機(jī)械能守恒定律得：
 $\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得：v₁=$\sqrt{5gR}$
小車經(jīng)過半圓軌道B點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得：
F-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：F=600N
（3）小車不脫離軌道情景一：小車上升的高度不超過C點(diǎn)．
臨界情況，小車恰好到達(dá)C點(diǎn)．
AC過程列動(dòng)能定理得：Pt₁-μmgL-mgR=0-0
代入數(shù)據(jù)得：t₁=26s
不脫離軌道情景二：小車能上升到最高點(diǎn)D，臨界情況需滿足：
mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
A到D過程列動(dòng)能定理得：
Pt₂-μmgL-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_D²．
解得 t₂=35s
所以發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間t需滿足的條件是t₁≤26s或者t₂≥35s．
答：（1）恒力F的大小為32.5N．
（2）小車經(jīng)過半圓軌道B點(diǎn)時(shí)受到的支持力大小是600N．
（3）發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間t需滿足的條件是t₁≤26s或者t₂≥35s．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)能定理，在第三問中，抓住沿軌道運(yùn)動(dòng)：不能到達(dá)最高點(diǎn)，在C點(diǎn)下方速度減到零，或者到達(dá)最高點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，再結(jié)合動(dòng)能定理即可研究．