Question

4．如圖所示，光滑固定細桿與水平方向夾角為53°，輕質彈簧一端固定在O點，另一端連接一個中央帶孔（孔徑略大于桿的直徑）的小球，小球套在細桿上．現將小球拉至彈簧處于水平位置并由靜止釋放，測得下滑過程中小球的機械能先增大后減小，當小球的動能最大時彈簧的彈性勢能恰好與初始時相同．已知小球質量為m，O點到桿的距離為l，重力加速度為g，彈簧始終處于彈性限度內，sin53°=0.8，cos53°=0.6．由以上條件可求出：小球的最大速度為$\sqrt{\frac{12gl}{5}}$，加速過程的最大加速度為$\frac{8}{5}g$，彈簧勁度系數的最大可能值為$\frac{16mg}{3l}$．

Answer 1

分析 下滑過程中小球的機械能先增大后減小，彈簧對小球先做正功后做負功，根據對稱性確定小球的動能最大時下滑的距離，由系統的機械能守恒求小球最大速度．當合力最大時，此位置為初位置，小球的加速度最大，由牛頓第二定律求最大加速度．

解答 解：從靜止釋放開始到動能最大時，小球下滑的距離：x=2ltan37°．根據能量守恒定律有：mg$•2ltan37°•cos37°=\frac{1}{2}$$m{v}_{m}^{2}$
解得：${v}_{m}=\sqrt{\frac{12gl}{5}}$
當小球的動能最大時彈簧的彈性勢能恰好與初始時相同，則合力為零，此時的形狀應該與初態(tài)相同，如圖中的位置，作出受力圖，
Fcos74°=Ncos37°
Fsin74°=Nsin37°+mg
解得：F=$\frac{4}{3}mg$
由圖可知在初位置時合力最大，根據牛頓第二定律有：Fcos53°+mgsin53°=ma_m
解得：a_m=$\frac{8}{5}g$
彈簧與桿垂直時彈簧為原長，由幾何關系可知初位置彈簧的形變?yōu)椋?△x=\frac{l}{sin53°}-l=\frac{1}{4}l$
則：k△x=$\frac{4}{3}mg$
解得：k=$\frac{16mg}{3l}$
故答案為：$\sqrt{\frac{12gl}{5}}$，$\frac{8}{5}g$，$\frac{16mg}{3l}$．

點評 本題主要考查了機械能守恒定律、牛頓第二定律的直接應用，要求同學們能正確分析小球的受力情況和運動情況．