Question

3．如圖所示，在水平面MN上方高H=2.4m處固定一帶負(fù)電的小球A，一質(zhì)量m=9.0×10^-3kg，帶電量q=1.0×10^-2C的帶正電小球B在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)、A、B之間的距離l=2.0m，連線與豎直方向的夾角θ=37°、在平面MN下方足夠大的區(qū)域內(nèi)存在豎直向上的勻強(qiáng)電場和水平垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，電場強(qiáng)度E=9.0V/m．當(dāng)小球B球運(yùn)動(dòng)到速度方向與磁場方向垂直的P點(diǎn)時(shí)，A球的電量忽然消失．若不考慮電流的磁效應(yīng)，g=10m/s²，靜電力常量k=9.0×10⁹$\frac{N•{m}^{2}}{{C}^{2}}$．已知sin37°=0.6，試求：
（1）A球的帶電量Q；
（2）若要使小球B不穿過MN下方與MN相距d=4.8m的水平面，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B應(yīng)滿足的條件；
（3）在H＞1.6m的條件下，無論H取何值，要使小球B都能通過P點(diǎn)正下方的平面MN上的Q點(diǎn)，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂應(yīng)為多大？

Answer 1

分析 （1）對(duì)B球受力分析，受到豎直向下的重力、由B指向A的庫侖力，運(yùn)用正交分解，庫侖力在豎直方向的分量等于重力，根據(jù)平衡幾何庫侖定律即可求出A球的電量；
（2）對(duì)B球分析，沿半徑方向的合外力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合向心加速度的線速度表示形式可求出B球的速度v，離開P點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，求出小球進(jìn)入電磁場區(qū)域時(shí)速度的大小和方向，根據(jù)已知條件計(jì)算可知重力與電場力平衡，小球在電磁場中相當(dāng)于只受洛倫茲力作用，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力，求出半徑R，畫出復(fù)合條件的臨界軌跡，利用幾何關(guān)系求出的半徑與磁場的半徑公式聯(lián)立即可求出B的臨界取值．
（3）畫出小球運(yùn)動(dòng)軌跡過程圖，分兩個(gè)過程分析，平拋和圓周，平拋運(yùn)動(dòng)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解解決，求出末速度的大小和方向，圓周運(yùn)動(dòng)用洛倫茲力提供向心力求出的半徑公式，再與幾何關(guān)系結(jié)合，最后分析運(yùn)算，消掉未知量即可．

解答 解：（1）受力分析可知：B球受到豎直向下的重力和由B指向A的庫侖力，運(yùn)用正交分解，
庫侖力在豎直方向的分量等于重力：k$\frac{Qq}{{l}^{2}}$cosθ=mg…①
由①式代入題給數(shù)據(jù)計(jì)算可得：Q=$\frac{mg{l}^{2}}{kqcosθ}$=5×10^-9C
（2）庫侖力沿半徑方向的分力提供向心力：k$\frac{Qq}{{l}^{2}}$sinθ=mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{lsinθ}$
所以可得：v=$\sqrt{gltanθsinθ}$=3m/s…②
A球的電量忽然消失，之后B球以v=3m/s的初速度做平拋運(yùn)動(dòng)，
豎直方向位移：y=H-lcosθ=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)可得：t=0.4s
豎直方向速度：v_y=gt=4m/s…③
②③式聯(lián)立，可得B球進(jìn)入磁場的速度大小為：v₁=$\sqrt{{v}_{y}^{2}{+v}^{2}}$=5m/s…④，方向與水平方向成53°角
B球進(jìn)入電磁場后，根據(jù)已知數(shù)據(jù)計(jì)算可得：qE=mg，所以小球在電磁場中相當(dāng)于只受洛倫茲力作用，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
根據(jù)洛倫茲力提供向心力：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，
可得：R=$\frac{m{v}_{1}}{qB}$…⑤
因?yàn)樾∏駼不穿過MN下方與MN相距d=4.8m的水平面
根據(jù)幾何關(guān)系：R（1+sin37°）≤d…⑥
④⑤⑥式聯(lián)立代入題給數(shù)據(jù)得：B≥1.5T
（3）設(shè)球B做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移為x′，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t′，豎直方向的末速度為v_y′，
B球進(jìn)入磁場時(shí)的合速度為v₂，速度方向與磁場邊界的夾角為α，勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R′
水平方向位移：x′=vt′…⑦
豎直方向速度：v_y′=gt′…⑧
粒子軌跡如圖，幾何關(guān)系可知：平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移和圓周運(yùn)動(dòng)的弦長相等：x′=2R′sinα…⑨
根據(jù)平拋過程中速度偏轉(zhuǎn)角的矢量關(guān)系有：sinα=$\frac{{v}_{y}^{′}}{{v}_{2}}$…⑩
洛倫茲力提供向心力有：qv′B₂=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R′}$…⑪
⑦⑧⑨⑩⑪式聯(lián)立代入題給數(shù)據(jù)得：B₂=$\frac{2mg}{qv}$=6T
答：（1）A球的帶電量Q為5×10^-9C；
（2）若要使小球B不穿過MN下方與MN相距d=4.8m的水平面，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B應(yīng)滿足B≥1.5T；
（3）在H＞1.6m的條件下，無論H取何值，要使小球B都能通過P點(diǎn)正下方的平面MN上的Q點(diǎn)，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂應(yīng)為6T．

點(diǎn)評(píng) 本題第一問用庫侖力取代了圓錐擺模型中繩子的拉力，考查對(duì)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的處理；第二問將平拋運(yùn)動(dòng)和復(fù)合場結(jié)合起來，重點(diǎn)考察這兩種運(yùn)動(dòng)的綜合應(yīng)用能力；最后一問考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力（消去無關(guān)量）．在第二問中，同學(xué)們要分析好兩個(gè)運(yùn)動(dòng)過程間的速度銜接關(guān)系；第三問難度較大，要求同學(xué)們抓住平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移和弦長相等這一幾何關(guān)系，約去無關(guān)量，對(duì)運(yùn)算能力要求較高．建議同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)過程中加強(qiáng)經(jīng)典模型處理的訓(xùn)練，練習(xí)綜合運(yùn)用物理知識(shí)解決問題的能力．