Question

如圖，與水平面成45°角的平面MN將空間分成Ⅰ和Ⅱ兩個(gè)區(qū)域．一質(zhì)量為m、電荷量為q（q＞0）的粒子以速度v₀從平面MN上的P₀點(diǎn)水平右射入I區(qū)．粒子在Ⅰ區(qū)運(yùn)動(dòng)時(shí)，只受到大小不變、方向豎直向下的電場(chǎng)作用，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E；在Ⅱ區(qū)運(yùn)動(dòng)時(shí)，只受到勻強(qiáng)磁場(chǎng)的作用，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里．求粒子首次從Ⅱ區(qū)離開(kāi)時(shí)到出發(fā)點(diǎn)P₀的距離．粒子的重力可以忽略．

Answer 1

分析：在分離電磁場(chǎng)中粒子先做類平拋運(yùn)動(dòng)，后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，兩運(yùn)動(dòng)的銜接條件為速度大小和速度方向．求粒子首次從II區(qū)離開(kāi)時(shí)到出發(fā)點(diǎn)P₀的距離必須知道在電場(chǎng)中的平拋位移和在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的弦長(zhǎng)，根據(jù)電場(chǎng)力方向和左手定則正粒子都向N側(cè)運(yùn)動(dòng)，所以d=電場(chǎng)位移S+磁場(chǎng)圓的弦L．

解答：解：正粒子垂直電場(chǎng)進(jìn)入做類平拋運(yùn)動(dòng)，初末位置在45°角的平面MN上，說(shuō)明位移方向角是45°，
根據(jù)分解公式得x=v₀t①y=

1

2

at2②a=

Eq

m

③tan45°=

y

x

④S=

2

x⑤v=

v 2 0 +a2t2

⑥
速度與水平方向的夾角θ：tanθ=2tan45°=2sinθ=

2

5

cosθ=

1

5

⑦
連立①②③④⑤⑥化簡(jiǎn)得    v=

5

v0⑧S=2

2

m v 2 0

Eq

進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)與邊界MN的夾角為θ-45°做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)牛頓第二定律得m

v2

R

=Bqv⑨
作出原軌跡，則弦長(zhǎng)和半徑滿足關(guān)系 sin(θ-45°)=

L

2R

⑩
連立⑨⑩得      L=

2

mv0

Bq

所以粒子首次從II區(qū)離開(kāi)時(shí)到出發(fā)點(diǎn)P₀的距離為d=s+L=

2 mv0

q

(

2v0

E

+

1

B

)

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中兩運(yùn)動(dòng)模型：勻速圓周運(yùn)動(dòng)與類平拋運(yùn)動(dòng)，及相關(guān)的綜合分析能力，以及空間想像的能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力．