Question

20．如圖所示，一質(zhì)量為m的小球，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩懸掛于O點(diǎn)，初始時(shí)刻小球靜止于P點(diǎn)．第一次小球在水平拉力F作用下，從P點(diǎn)緩慢地移動(dòng)到Q點(diǎn)，此時(shí)輕繩與豎直方向夾角為θ，張力大小為T₁；第二次在水平恒力F′作用下，從P點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)并恰好能到達(dá)Q點(diǎn)，至Q點(diǎn)時(shí)輕繩中的張力為大小T₂，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，關(guān)于這兩個(gè)過程，下列說法中正確的是（　�。�

• A． 兩個(gè)過程中，輕繩的張力均變大
• B． T₁=T₂=$\frac{mg}{cosθ}$
• C． 第一個(gè)過程中，拉力F在逐漸變大，且最大值一定大于F′
• D． 第二個(gè)過程中，重力和水平恒力F′的合力的功率先減小后增加

Answer 1

分析 第一個(gè)過程中，小球處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)，由平衡條件分析張力的變化．第二次在水平恒力F′作用下，從P點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)并恰好能到達(dá)Q點(diǎn)，則到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)速度為零，由于重力和拉力都是恒力，可以把這兩個(gè)力合成為新的“重力”，則第二次小球的運(yùn)動(dòng)可以等效于單擺運(yùn)動(dòng)，找出“最低點(diǎn)”，最低點(diǎn)的速度最大，在Q點(diǎn)速度為零，則向心力為零，來分析重力和水平恒力F′的合力的功率如何變化．

解答 解：A、第一次運(yùn)動(dòng)過程中，根據(jù)幾何關(guān)系和平衡條件可知，繩子的拉力 T₁=$\frac{mg}{cosθ}$，θ變大，cosθ變小，所以輕繩的張力變大．
第二次由于重力和拉力都是恒力，可以把這兩個(gè)力合成為新的“重力”，則第二次小球的運(yùn)動(dòng)可以等效于單擺運(yùn)動(dòng)，當(dāng)繩子方向與重力和F′方向在同一直線上時(shí)，小球處于“最低點(diǎn)”，最低點(diǎn)的速度最大，此時(shí)繩子張力最大，所以第二次繩子的張力先增大后減小，故A錯(cuò)誤；
B、第二次小球到Q點(diǎn)的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
F′lsinθ=mgl（1-cosθ）
在Q點(diǎn)時(shí)向心力為零，則輕繩中的張力為大小 T₂=mgcosθ+F′sinθ=mgcosθ+$\frac{mg（1-cosθ）}{sinθ}$•sinθ=mg，故B錯(cuò)誤．
C、第一次小球在水平拉力F作用下，從P點(diǎn)緩慢地移動(dòng)到Q點(diǎn)，則小球處于平衡狀態(tài)，根據(jù)平衡條件得：F的最大值 F=mgtanθ，隨著θ增大，F(xiàn)逐漸增大．
第二次從P點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)并恰好能到達(dá)Q點(diǎn)，則到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)速度為零，在此過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
 F′lsinθ-mgl（1-cosθ）=0
解得：F′=mgtan$\frac{θ}{2}$，因?yàn)棣龋?0°，所以mgtan$\frac{θ}{2}$＜mgtanθ，則F＞F′，故C正確；
D、第二個(gè)過程中，重力和水平恒力F′的合力是個(gè)恒力，在等效最低點(diǎn)時(shí)，合力方向與速度方向垂直，此時(shí)功率最小為零，到達(dá)Q點(diǎn)速度也為零，則第二個(gè)過程中，重力和水平恒力F′的合力的功率先減小，后增大，再減小為0，故D錯(cuò)誤．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)在第二次拉動(dòng)小球運(yùn)動(dòng)過程的處理，由于重力和拉力都是恒力，可以把這兩個(gè)力合成為新的“重力”，則第二次小球的運(yùn)動(dòng)可以等效于單擺運(yùn)動(dòng)，根據(jù)單擺的知識(shí)進(jìn)行分析．