Question

8．如圖所示，一個小型旋轉(zhuǎn)電樞式交流發(fā)電機，其矩形線圈的長度為l₁，寬度為l₂，共有n匝，總電阻為r，與線圈兩端相接觸的集流環(huán)上接有一個阻值為R的定值電阻，線圈以角速度ω在磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中繞與磁場方向垂直的對稱軸OO′勻速運動，沿轉(zhuǎn)軸OO′方向看去，線圈轉(zhuǎn)動沿逆時針方向，t=0時刻線圈平面與磁感線平行．
（1）寫出線圈轉(zhuǎn)動過程中感應(yīng)電流的瞬時值表達(dá)式．
（2）求線圈從t=0位置開始到轉(zhuǎn)過90°的過程中的平均電動勢．
（3）求電阻R上的發(fā)熱功率
（4）若發(fā)電機（內(nèi)阻不計）的發(fā)電電動勢為250V，發(fā)電機的輸出功率為10KW，輸電線電阻r₂=1Ω，欲對額定電壓為220V的用電器正常供電，輸電線上的損耗功率不超過1%的總功率．求升壓和降壓變壓器的變壓比．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)E_m=nBSω求得產(chǎn)生的最大感應(yīng)電動勢，利用閉合電路的歐姆定律求得最大感應(yīng)電流，即可表示出瞬時電流；
（2）根據(jù)$\overline{E}=\frac{n△∅}{△t}$求得平均感應(yīng)電動勢；
（3）求得感應(yīng)電流的有效值，有P=I²R求得發(fā)熱功率；
（4）根據(jù)遠(yuǎn)距離輸電的特點，匝數(shù)之比等于電壓之比即可求得

解答 解：（1）線圈產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的最大值E_m=nBSω=nBl₁l₂ω
產(chǎn)生的感應(yīng)電流的最大值${I}_{m}=\frac{{E}_{m}}{R+r}=\frac{nB{l}_{1}{l}_{2}ω}{R+r}$
t=0時刻線圈平面與磁感線平行．故線圈轉(zhuǎn)動過程中感應(yīng)電流的瞬時值表達(dá)式$i=\frac{nB{l}_{1}{l}_{2}ω}{R+r}cosωt$
（2）從t=0位置開始到轉(zhuǎn)過90°的過程中的平均電動勢為$\overline{E}=\frac{n△∅}{△t}=\frac{n•B{l}_{1}{l}_{2}}{\frac{π}{2ω}}$=$\frac{2nB{l}_{1}{l}_{2}ω}{π}$
（3）回路中感應(yīng)電流的有效值I=$\frac{{I}_{m}}{\sqrt{2}}$，電阻R消耗的熱功率P=I²R=$\frac{{n}^{2}{{{B}^{2}l}_{1}^{2}l}_{2}^{2}{ω}^{2}R}{2（R+r）^{2}}$
（4）輸電線路上損失的功率△P=1%P=100W
根據(jù)$△P{=I}_{2}^{2}r$解得${I}_{2}=\sqrt{\frac{△P}{r}}=10A$
故升壓變壓器副線圈兩端的電壓${U}_{2}=\frac{P}{{I}_{2}}=\frac{10000}{10}V=1000V$，故升壓變器原副線圈匝數(shù)之比$\frac{{n}_{1}}{{n}_{2}}=\frac{{U}_{1}}{{U}_{2}}=\frac{250}{1000}=\frac{1}{4}$
輸電線路上損失的電壓△U=I₂r=10V
降壓變壓器原線圈兩端的電壓U₃=U₂-△U=990V
故降壓變壓器的匝數(shù)之比$\frac{{n}_{3}}{{n}_{4}}=\frac{{U}_{3}}{{U}_{4}}=\frac{990}{220}=\frac{9}{2}$
答：（1）線圈轉(zhuǎn)動過程中感應(yīng)電流的瞬時值表達(dá)式為$i=\frac{nB{l}_{1}{l}_{2}ω}{R+r}cosωt$．
（2）線圈從t=0位置開始到轉(zhuǎn)過90°的過程中的平均電動勢為$\frac{2nB{l}_{1}{l}_{2}ω}{π}$．
（3）求電阻R上的發(fā)熱功率為$\frac{{n}^{2}{{{B}^{2}l}_{1}^{2}l}_{2}^{2}{ω}^{2}R}{2（R+r）^{2}}$
（4）升壓和降壓變壓器的變壓比分別為1：4和9：2．

點評 對于交變電流，求解熱量、電功和電功率用有效值，而求解電量要用平均值，