Question

（2012?長寧區(qū)二模）如圖所示，斜面底端與一水平板左端a相接，平板長2L，中心C固定在高為R=L=1m的豎直支架上，支架的下端與垂直于紙面的固定轉(zhuǎn)軸O連接，因此平板可繞轉(zhuǎn)軸O沿順時(shí)針方向翻轉(zhuǎn)．當(dāng)把質(zhì)量m=0.5kg的小物塊A輕放在C點(diǎn)右側(cè)離C點(diǎn)0.2m處時(shí)，平板左端a恰不受支持力．A與斜面間和平板的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.2，A從斜面由靜止下滑，不計(jì)小物塊在a處碰撞時(shí)的能量損失．重力加速度g=10m/s²．現(xiàn)要保證平板不翻轉(zhuǎn)，求：
（1）小物塊能在平板上滑行的最大距離．
（2）有同學(xué)認(rèn)為，在h₀一定的情況下，平板是否翻轉(zhuǎn)與斜面的傾角有關(guān)，傾角越大，越容易翻轉(zhuǎn)．請(qǐng)用相關(guān)知識(shí)分析上述認(rèn)識(shí)是否正確．
（3）若h₀=1m，斜面傾角不能超過多大？

Answer 1

分析：（1）由題，把質(zhì)量m=0.5kg的小物塊A輕放在C點(diǎn)時(shí)，平板左端a恰不受支持力，此時(shí)平板的重力力矩等于mgd=1N?m．小物塊能在平板上滑行時(shí)，以O(shè)支點(diǎn)，支架有平板逆時(shí)針方向的力矩、滑動(dòng)摩擦力順時(shí)針方向力矩，及小物塊重力和力矩，根據(jù)力矩平衡條件求解小物塊能在平板上滑行的最大距離．
（2）要使平板發(fā)生翻轉(zhuǎn)，小物塊至少要滑到C點(diǎn)右側(cè)．由于小物塊在平板上克服摩擦力做功μmgcosθ?

h0

sinθ

=μmg?

h0

tanθ

是確定的，可知在h₀一定的情況下，斜面傾角越大，克服斜面摩擦力做的功就越小，能滑行的距離就越長，即平板越容易翻轉(zhuǎn)．
（3）由動(dòng)能定理得，對(duì)整個(gè)過程研究，求解斜面傾角．

解答：解：（1）滑動(dòng)摩擦力f=μmg=0.2×0.5×10N=1N
其順時(shí)針力矩為M_f=fR=1N?m
平板的重力矩為M_G=mgd=0.5×10×0.2Nm=1N?m
根據(jù)力矩平衡條件可得小物塊在平板上滑行的最大距離x=L=1m．
（2）要使平板發(fā)生翻轉(zhuǎn)，小物塊至少要滑到C點(diǎn)右側(cè)．由于小物塊在平板上克服摩擦力做功是確定的，所以在h₀一定的情況下，斜面傾角越大，克服斜面摩擦力做的功就越小，能滑行的距離就越長，即平板越容易翻轉(zhuǎn)．
（3）設(shè)小物塊恰好能滑到C點(diǎn)，
由動(dòng)能定理得mgh₀-（W_克斜+W_克板）=0
式中W_克斜=μmgcosθ?

h0

sinθ

，W_克板=μmgL
聯(lián)立得mgh₀-（μmg?

h0

tanθ

+μmgL）=0，
代入數(shù)據(jù)，解得θ=14°
答：
（1）小物塊能在平板上滑行的最大距離是1m．
（2）有同學(xué)認(rèn)為，在h₀一定的情況下，平板是否翻轉(zhuǎn)與斜面的傾角有關(guān)，傾角越大，越容易翻轉(zhuǎn)．請(qǐng)用相關(guān)知識(shí)分析上述認(rèn)識(shí)是否正確．
（3）若h₀=1m，斜面傾角不能超過14°．

點(diǎn)評(píng)：本題是力矩平衡、動(dòng)能定理的結(jié)合，其中物塊在斜面上克服摩擦力做功W_克斜=μmgcosθ?

h0

sinθ

=μmg?

h0

tanθ

，

h0

tanθ

是物塊在斜面滑行水平位移大�。�