Question

2．如圖所示，A，B兩物體用輕繩連接，并穿在水平桿上，可沿桿滑動(dòng)．水平桿固定在可繞豎直軸PQ轉(zhuǎn)動(dòng)的框架上，已知A、B的質(zhì)量分別為m₁和m₂，水平桿對(duì)物體AB的最大靜摩擦力均與各物體的重力成正比，比例系數(shù)為μ，物體A離轉(zhuǎn)軸PQ的距離為R₁，物體B到轉(zhuǎn)軸PQ的距離為R₂，且有R₁＜R₂和m₁＜m₂．當(dāng)框架轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度緩慢增大到ω₁時(shí)，連接兩物體的輕繩開(kāi)始有拉力；角速度增大到ω₂時(shí)，其中一個(gè)物體受到桿的摩擦力為零，則：
（1）角速度ω₁多大？此時(shí)兩物體受到摩擦力各多大？
（2）角速度ω₂多大？此時(shí)輕繩拉力多大？

Answer 1

分析 （1）角速度較小時(shí)，A、B靠靜摩擦力提供向心力，B先達(dá)到最大靜摩擦力，然后繩子出現(xiàn)拉力；
（2）角速度增大時(shí)，A靠拉力和靜摩擦力共同提供向心力，B靠拉力和靜摩擦力提供向心力，隨角速度增大時(shí)，A的靜摩擦力減小，然后結(jié)合公式即可求出．

解答 解：（1）當(dāng)沒(méi)有拉力時(shí)，摩擦力提供向心力，其中 的某一個(gè)的靜摩擦力最大時(shí)，則：
$μmg=m{ω}_{0}^{2}R$
可得：${ω}_{0}=\sqrt{\frac{μg}{R}}$
可知運(yùn)動(dòng)半徑比較大的物體先到達(dá)最大靜摩擦力，與質(zhì)量無(wú)關(guān)．即B先到達(dá)最大靜摩擦力，此時(shí)：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{μg}{{R}_{2}}}$
此時(shí)A受到的靜摩擦力：${f}_{A}={m}_{1}{ω}_{1}^{2}{R}_{1}=\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}•μ{m}_{1}g$
B受到的靜摩擦力：${f}_{A}={m}_{2}{ω}_{1}^{2}{R}_{2}=μ{m}_{2}g$
（2）B先到達(dá)最大靜摩擦力，此后A受到繩子的拉力，當(dāng)A受到的摩擦力等于0時(shí)，設(shè)拉力為T(mén)，則對(duì)A：
$T={m}_{1}{ω}_{2}^{2}{R}_{1}$
對(duì)B：$μ{m}_{2}g+T={m}_{2}{ω}_{2}^{2}{R}_{2}$
聯(lián)立得：ω₂=$\sqrt{\frac{μ{m}_{2}g}{{m}_{2}{R}_{2}-{m}_{1}{R}_{1}}}$
T=$\frac{μ{m}_{1}{m}_{2}g{R}_{1}}{{m}_{2}{R}_{2}-{m}_{1}{R}_{1}}$
答：（1）角速度ω₁是$\sqrt{\frac{μg}{{R}_{2}}}$；此時(shí)兩物體受到摩擦力分別是$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}•μ{m}_{1}g$和μm₂g；
（2）角速度ω₂是$\sqrt{\frac{μ{m}_{2}g}{{m}_{2}{R}_{2}-{m}_{1}{R}_{1}}}$，此時(shí)輕繩拉力是$\frac{μ{m}_{1}{m}_{2}g{R}_{1}}{{m}_{2}{R}_{2}-{m}_{1}{R}_{1}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵找出A、B將要發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)的臨界情況，通過(guò)受力，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行分析．