Question

19．如圖所示，在0≤x≤b、0≤y≤a的長(zhǎng)方形區(qū)域中有一磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向垂直于xOy平面向外．O處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xOy平面內(nèi)的第一象限內(nèi)（包括ox、oy軸）．若粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，最先從磁場(chǎng)上邊界飛出的粒子經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{T}{12}$，最后從磁場(chǎng)中飛出的粒子經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{T}{4}$．不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用，則
（1）粒子的入磁場(chǎng)的速度大小為多少？
（2）求長(zhǎng)方形區(qū)域的邊長(zhǎng)滿足關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短時(shí)，其回旋的角度最小，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系列出方程求解出軌道半徑，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力得出速度大�。�
（2）最后離開(kāi)磁場(chǎng)的粒子，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，由題意畫(huà)出運(yùn)動(dòng)的軌跡，故可以根據(jù)幾何關(guān)系列出方程求變長(zhǎng)之間的關(guān)系．

解答 解（1）最先從磁場(chǎng)上邊界中飛出的帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡可如圖表示：
可知此時(shí)粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的圓心角為30°，根據(jù)幾何關(guān)系得粒子運(yùn)動(dòng)的半徑r=2a，
根據(jù)牛頓第二定律有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
粒子的射入磁場(chǎng)的速度大�。簐=$\frac{2qBa}{m}$；
（2）最后從磁場(chǎng)中飛出的帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡可如圖表示：
設(shè)發(fā)射方向與y軸正方向的夾角為α，根據(jù)幾何關(guān)系有：
rsinα=r-a，rsinα=b-rcosα，解得：α=30°，b=（1+$\sqrt{3}$）a；
答：（1）粒子的入磁場(chǎng)的速度大小為$\frac{2qBa}{m}$．
（2）長(zhǎng)方形區(qū)域的邊長(zhǎng)滿足關(guān)系為：b=（1+$\sqrt{3}$）a．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是畫(huà)出運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后根據(jù)幾何關(guān)系得到軌道半徑，再根據(jù)洛侖茲力提供向心力得到速度大�。�