Question

（2005?宿遷三模）偵察衛(wèi)星在通過地球兩極上空的圓軌道上運行，它的運行軌道距地面高度為h，已知地球半徑為R，地面表面處的重力加速度為g，地球的自轉(zhuǎn)周期為T．
（1）試求該衛(wèi)星的運行速度；
（2）要使衛(wèi)星在一天內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件下的情況全部拍下來，衛(wèi)星在通過赤道上空時，衛(wèi)星上的攝像機(jī)應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長S是多少？

Answer 1

分析：（1）同步衛(wèi)星和地球同步，其周期為地球自轉(zhuǎn)的周期，根據(jù)萬有引力提供向心力及萬有引力和向心力的公式中的周期公式即可求解；
（2）攝像機(jī)只要將地球的赤道拍攝全，便能將地面各處全部拍攝下來；
根據(jù)萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力求出衛(wèi)星周期．
由地球自轉(zhuǎn)角速度求出衛(wèi)星繞行地球一周的時間內(nèi)，地球轉(zhuǎn)過的圓心角，再根據(jù)弧長與圓心角的關(guān)系求解．

解答：解：（1）設(shè)地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，衛(wèi)星在運行時，
由萬有引力提供向心力：G

Mm

(R+h)2

=m

v2

R+h

…①
設(shè)地球表面有個質(zhì)量為m₀的物體，則：m₀g=G

Mm0

R2

…②
由①②式聯(lián)立，衛(wèi)星的運行速度為：v=

R

R+h

g(R+h)

…③
（2）設(shè)衛(wèi)星的運動周期為T′，由萬有引力提供向心力，
則：G

Mm

(R+h)2

=m(

2π

T′

)2(R+h)…④
由②④兩式，得：T′=

2π

R

(R+h)3 g

…⑤
一天內(nèi)偵察衛(wèi)星經(jīng)過有日照的赤道上空次數(shù)為：N=

T

T′

…⑥
攝像機(jī)每次應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長為：S=

2πR

N

…⑦
由⑤⑥⑦式，得：S=

4π2

T

(R+h)3 g

答：（1）該衛(wèi)星的運行速度是v=

R

R+h

g(R+h)

；
（2）衛(wèi)星上的攝像機(jī)應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長S是

4π2

T

(R+h)3 g

點評：本題考查應(yīng)用物理知識分析研究科技成果的能力，基本原理：建立模型，運用萬有引力等于向心力研究．