Question

用磁聚焦法測比荷的裝置如圖所示．在真空玻璃管中裝有熱陰極K和帶有小孔的陽極A．在A、K之間加上電壓U后，不斷地有電子從陰極K由靜止加速到達陽極A，并從小孔射出．接著電子進入平行板電容器C，電容器兩極板間加有不大的交變電場，使不同時刻通過的電子發(fā)生不同程度的偏轉；電容器C和熒光屏S之間加一水平向右的均勻磁場，電容器和熒光屏間的距離為L，電子經(jīng)過磁場后打在熒光屏上，將磁場的磁感應強度從零開始緩慢增大到為B時，熒光屏上的光點的銳度最大（這時熒光屏S上的亮斑最小）．
（1）若平行板電容器C的板長為

L

4

，求電子經(jīng)過電容器和磁場區(qū)域的時間之比；
（2）熒光屏上的光點銳度最大滿足的條件是什么？并用U、B、L表示出電子的比荷；
（3）在磁場區(qū)域再加一勻強電場，其電場強度的大小為E=

U

L

，方向與磁場方向相反，若保持U、L和磁場方向不變，調節(jié)磁場的磁感應強度大小，仍使電子在熒光屏上聚焦，則磁感應強度大小滿足的條件是什么？

Answer 1

分析：（1）首先分析電子的運動情況：電子在電容器中運動時，水平方向上不受力做勻速直線運動，速度不變，電子進入磁場后做等距螺旋運動，在水平方向上做勻速直線運動，速度不變，且與在電容器間運動時的水平速度相等，從而可知在這兩種區(qū)域內的運動時間關系．
（2）電子首先在加速電場中加速，由動能定理可求得電子進入電容器時的速度．在電容器內部做較復雜的曲線運動，都是在水平方向速度不變；進入磁場時，速度與磁場有夾角，電子做等距螺旋運動，由運動的特征可知圓周運動的周期是相同的．當電子正好在磁場中運動一個周期的情況時，銳度最大．
（3）在磁場中加上與磁場相反的電場后，電子受到了水平向右的電場力，在是水平方向上，電子做勻加速運動，由動能定理可求出電子達到S屏時的速度；由平均速度可求出在復合場中的運動時間，要使電子在熒光屏上聚焦，運動時間就應是做圓周運動的周期的整數(shù)倍．

解答：解：（1）因為電子在電場和磁場中沿水平方向做勻速直線運動，由t=

x

v

知，電子經(jīng)過電容器和磁場區(qū)域的時間之比為1：4．
（2）電子在加速電場中，由動能定理得 Ue=

1

2

mv2
電子在磁場中運動的軌跡為螺旋線，水平速度均相同，圓周運動的周期也相同，要使得銳度最大則應滿足：

L

v

=

2πm

eB

聯(lián)立解得

e

m

=

8π2U

L2B2

（3）在磁場中加上與磁場相反的電場后，在K、A間，則有  Ue=

1

2

mv2
設打在S上的水平方向速度為v'，Ue+ELe=

1

2

mv′2
設電子在復合場中的時間為t，電子在復合場中沿水平方向做勻加速運動，t=

L

. v

=

2L

v+v′

要使得銳度最大則應滿足：t=n

2πm

eB′

（n=1、2、3…） 
解得：B′=

( 2 +1)

2

nB（n=1、2、3…）       
答：
（1）電子經(jīng)過電容器和磁場區(qū)域的時間之比為1：4；
（2）電子的比荷為

8π2U

L2B2

；
（3）磁感應強度大小滿足的條件是B′=

( 2 +1)

2

nB（n=1、2、3…）．

點評：此題是一道質量非常高的題，既考察了電子在靜電場中的加速，又考察了電子垂直于電場方向進入交變電場后的運動特征，還考察了電子在勻強磁場中做等距螺旋運動的特征．
解答此題的關鍵首先是正確分析在各個過程中的運動規(guī)律和特點，了解速度的變化，結合能量、運動學公式和牛頓運動定律進行解題．
帶電粒子在復合場運動，若帶電粒子所受合外力不斷變化且與粒子的速度不在一條直線時，粒子將做較復雜的曲線運動，解決此類問題通常用能量的觀點解決．