Question

4．某小船在渡河時，船速和水速均恒定，若采用時間最短的方案渡河，渡河時間為8秒，若采用最短位移渡河時，渡河時間為10秒，已知船速為10m/s，下列說法正確的是（　�。�

• A． 河寬為80m
• B． 水速可能是8m/s
• C． 水速可能為$\frac{50}{3}$m/s
• D． 水速可能為12m/s

Answer 1

分析 船航行時速度為靜水中的速度與河水流速二者合速度，最短的時間主要是希望合速度在垂直河岸方向上的分量最大，這個分量一般剛好是船在靜水中的速度，即船當(dāng)以靜水中的速度垂直河岸過河的時候渡河時間最短；如果船在靜水中的速度小于河水的流速，則合速度不可能垂直河岸，那么，小船不可能垂直河岸正達(dá)對岸．

解答 解：A、當(dāng)船頭與河岸垂直時，時間最短${t}_{min}^{\;}=\fracjhlq9r9{{v}_{船}^{\;}}$
河寬$d={v}_{船}^{\;}{t}_{min}^{\;}=10×8=80m$，故A正確；
B、當(dāng)${v}_{船}^{\;}＞{v}_{水}^{\;}$時，合速度與河岸垂直，位移最小，最小位移等于河寬

${v}_{合}^{\;}=\frac9nroo6x{t}=\frac{80}{10}=8m/s$
根據(jù)幾何關(guān)系：${v}_{水}^{\;}=\sqrt{{v}_{船}^{2}-{v}_{合}^{2}}=\sqrt{1{0}_{\;}^{2}-{8}_{\;}^{2}}=6，m/s$
CD、當(dāng)${v}_{船}^{\;}＜{v}_{水}^{\;}$時，作出位移最小時的矢量圖

最小位移${s}_{min}^{\;}={v}_{合}^{\;}t=\sqrt{{v}_{水}^{2}-{v}_{船}^{2}}•t$=$10\sqrt{{v}_{水}^{2}-1{0}_{\;}^{2}}$
根據(jù)幾何關(guān)系：$\frac{{v}_{船}^{\;}}{{v}_{水}^{\;}}=\fracuvaltoa{10\sqrt{{v}_{水}^{2}-1{0}_{\;}^{2}}}$
代入數(shù)據(jù)：$\frac{10}{{v}_{水}^{\;}}=\frac{80}{\sqrt{8{0}_{\;}^{2}+（10{v}_{水}^{\;}）_{\;}^{2}}}$
解得：${v}_{水}^{\;}=\frac{50}{3}m/s$，故C正確，D錯誤；
故選：AC

點評 小船過河問題屬于運動的合成問題，要明確分運動的等時性、獨立性，運用分解的思想，看過河時間只分析垂直河岸的速度，分析過河位移時，要分析合速度．