Question

2．有一空間范圍足夠大的勻強電場，電場方向未知，其電場線與坐標xOy平面平行．以坐標原點O為圓心，作半徑為R的圓交坐標軸于A、B、C、D四點，如圖所示．圓周上任意一點P的電勢的表達式為φ=kRsinθ+b，式中θ為半徑OP與x軸的夾角，k、b均為已知常量，且有k＞0和b＞0．在A點有一放射源，能不斷的沿x軸方向釋放出某種帶正電的粒子，不計粒子的重力．
（1）求該勻強電場的電場強度大小和方向；
（2）已知速度大小v₀的粒子恰好能從圖中C點射出該圓，若要使粒子從Q點射出（Q、O的連線與x軸的夾角α=53°），則粒子的速度大小為多少？（已知sin53°=0.8，cos53°=0.6）

Answer 1

分析 這是一道應用數學三函數和直角坐標系解決物理問題的好題：在勻強電場中有一圓周，題目告訴圓周上電勢的表達式，求出場強大小和方向是關鍵．
（1）由表達式φ=kRsinθ+b 知道，在圓周上有兩個點的電勢是相等的，而電場線與等勢面垂直，所以垂直這兩點連線的直線就是電場線．至于大小可以找θ=0°和θ=90°的兩個點的電勢差，由U=Ed 可以求出電場強度的大�。�
（2）從A點射出的粒子，顯然做類平拋運動，從C點穿出，由水平位移和豎直位移求出圓的半徑R，再由Q點的水平位移和豎直位移求出平拋的初速度．

解答 解：（1）因為有  sinθ=sin（180°-θ），所以與x軸成180°-θ  的G點兩點的電勢相等，則PG是一條等勢線．令θ=0°  則  φ_D=b，令θ=180° 則φ_D=k+b  所以電場的方向是沿y軸的負方向，如圖所示．據勻強電場電場強度與電勢差關系得到：$E=\frac{{U}_{DB}}{R}=\frac{{φ}_{D}-{φ}_{B}}{R}$=$\frac{k}{R}$      ①
（2）粒子從A到C，由于初速度方向與電場線垂直，所以粒子做類平拋運動，則：
R=v₀t₁         ②
$R=\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$      ③
而$a=\frac{Eq}{m}$      ④
聯立以上幾式得：$\frac{q}{m}=\frac{2{{v}_{0}}^{2}}{k}$
粒子從A到Q，仍做類平拋運動，同樣有：
       R+Rcosα=v₁t₂         ⑤
       $Rsinα=\frac{1}{2}a{{t}_{2}}^{2}$            ⑥
聯立④⑤⑥得：v₁=$\frac{4\sqrt{5}}{5}{v}_{0}$=1.8v₀．
答：（1）該勻強電場的電場強度大小為$\frac{k}{R}$，方向沿y軸負方向．
（2）已知速度大小v₀的粒子恰好能從圖中C點射出該圓，若要使粒子從Q點射出（Q、O的連線與x軸的夾角α=53°），則粒子的速度大小為1.8v₀．

點評 本題是數學與物理知識綜合的好題，題設已知也很含蓄，特別是電場強度的方向的確定，體現了由數學模型向物理模型的轉化．只有先確定方向，再根據函數式找到兩個特殊點的電勢，由勻強電場電場強度與電勢差的關系求出場強的大小，至于第二問是常規(guī)的類平拋運動的變形．