Question

如圖所示的是“神舟九號(hào)”“與天宮一號(hào)”軌道交會(huì)形式的一種，軌道1為“神舟九號(hào)”的橢圓軌道，軌道2為“天宮一號(hào)”的圓軌道，兩軌道同平面且在P點(diǎn)相切，對(duì)接前二者同向繞行．已知地球半徑為R₀，“天宮一號(hào)”的軌道半徑為R，“神舟九號(hào)”橢圓軌道的近地點(diǎn)離地面的高度為h，地球表面的重力加速度為g．
（1）求“天宮一號(hào)”的運(yùn)行周期T₂與“神舟九號(hào)”的運(yùn)行周期T₁之比
（2）為了保證“神舟九號(hào)“飛船與”天宮一號(hào)“恰好在P點(diǎn)相遇，飛船在軌道近地點(diǎn)時(shí)與地心的連線跟此時(shí)“天宮一號(hào)”與地心連線成的夾角φ為多大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)幾何關(guān)系確定神舟九號(hào)半長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度，而后根據(jù)開(kāi)普勒第三定律求解；
（2）根據(jù)周期關(guān)系，求解神舟九號(hào)在

T

2

周期里，天宮一號(hào)轉(zhuǎn)過(guò)的角度，再根據(jù)幾何關(guān)系求解．

解答：解：（1）根據(jù)幾何關(guān)系可知，神舟九號(hào)飛船軌道半長(zhǎng)軸r=

R+R0+h

2

，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律有：

R3

T 2 2

=k=

r3

T 2 1

所以有：

T2

T1

=

R3 r3

=

8R3 (R+R0+h)3

（2）由題意知神舟九號(hào)運(yùn)行

T1

2

，在這段時(shí)間內(nèi)，天宮一號(hào)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ=

T1

2

?

2π

T2

，則飛船在近地點(diǎn)時(shí)與地心連線跟此時(shí)天宮一號(hào)與地心連線所夾的角φ=π-θ代入數(shù)據(jù)得：
φ=π-

T1

2

?

2π

T2

=π(1-

(R+R0+h)3 8R3

)
答：（1）“天宮一號(hào)”的運(yùn)行周期T₂與“神舟九號(hào)”的運(yùn)行周期T₁之比為：

T2

T1

=

8R3 (R+R0+h)3

（2）為了保證“神舟九號(hào)“飛船與”天宮一號(hào)“恰好在P點(diǎn)相遇，飛船在軌道近地點(diǎn)時(shí)與地心的連線跟此時(shí)“天宮一號(hào)”與地心連線成的夾角φ為：

8R3 (R+R0+h)3

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)開(kāi)普勒第三定律由周期和半長(zhǎng)軸（半徑）的關(guān)系求解，利用周期根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)求解是關(guān)鍵．