Question

9．相距很近的平行板電容器AB，A、B兩板中心各開(kāi)有一個(gè)小孔，如圖甲所示，靠近A板的小孔處有一電子槍，能夠持續(xù)均勻地發(fā)射出電子，電子的初速度為v₀，質(zhì)量為m，電量為e，在AB兩板之間加上圖乙所示的交變電壓，其中0＜k＜1，U₀=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6e}$；緊靠B板的偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的電壓也等于U₀，板長(zhǎng)為L(zhǎng)，兩板間距為d，偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的中軸線（虛線）過(guò)A．B兩板中心，距偏轉(zhuǎn)極板右端$\frac{1}{2}$處垂直中軸線放置很大的熒光屏PQ，不計(jì)電子的重力和它們之間的相互作用，電子在電容器AB中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間忽略不計(jì)．
（1）在0-T時(shí)間內(nèi)，熒光屏上有兩個(gè)位置發(fā)光，試求這兩個(gè)發(fā)光點(diǎn)之間的距離（結(jié)果采用L、d表示，第2小題亦然）
（2）以偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的中軸線為對(duì)稱軸，只調(diào)整偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)極板的間距，要使熒光屏上只出現(xiàn)一個(gè)光點(diǎn)，極板間距應(yīng)滿足什么要求？
（3）撤去偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)及熒光屏，當(dāng)k取恰當(dāng)?shù)臄?shù)值時(shí)，使在0-T時(shí)間內(nèi)通過(guò)電容器B板的所有電子能在某一時(shí)刻形成均勻分布的一段電子束，求k的值．

Answer 1

分析 （1）在0-kT時(shí)間內(nèi)，根據(jù)動(dòng)能定理求出電子穿出B板后的速度，在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中，電子做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得到偏轉(zhuǎn)距離．根據(jù)推論：電子射出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后，好像從“中點(diǎn)射出”，得到打在熒光屏上的坐標(biāo)．再運(yùn)用同樣的方法求出在kT-T 時(shí)間內(nèi)，電子打在熒光屏上的坐標(biāo)，即可求得這兩個(gè)發(fā)光點(diǎn)之間的距離．
（2）考慮到臨界條件，當(dāng)極板間距為d′時(shí)，電子剛從偏轉(zhuǎn)極板邊緣飛出，熒光屏上只出現(xiàn)一個(gè)光點(diǎn)，由上題結(jié)果求出極板間距應(yīng)滿足什么要求．
（3）要求在某一時(shí)刻形成均勻分布的一段電子束，前后兩段電子束的長(zhǎng)度必須相等，分別得到電子束長(zhǎng)度的表達(dá)式，根據(jù)相等關(guān)系即可求得k．

解答 解：（1）電子經(jīng)過(guò)電容器內(nèi)的電場(chǎng)后，速度要發(fā)生變化．在0-kT時(shí)間內(nèi)，設(shè)穿出B板后速度變?yōu)?{v}_{1}^{\;}$，由動(dòng)能定理得：
$-e{U}_{0}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
將${U}_{0}^{\;}=\frac{m{v}_{0}^{2}}{6e}$
代入后解得：${v}_{1}^{\;}$=$\sqrt{\frac{4e{U}_{0}^{\;}}{m}}$
在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中，電子運(yùn)動(dòng)時(shí)間${t}_{1}^{\;}=\frac{L}{{v}_{1}^{\;}}$，
側(cè)移量${y}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=\frac{e{U}_{0}^{2}{L}_{\;}^{2}}{2md{v}_{1}^{2}}$，
解得：${y}_{1}^{\;}=\frac{{L}_{\;}^{2}}{8d}$
根據(jù)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的推論“似是中點(diǎn)來(lái)”其打在熒光屏上的坐標(biāo)${y}_{1}^{′}=2{y}_{1}^{\;}=\frac{{L}_{\;}^{2}}{4d}$
在 kT～T時(shí)間內(nèi)，穿出B板后速度變?yōu)?{v}_{2}^{\;}$，同理可得，
${v}_{2}^{\;}=\frac{8e{U}_{0}^{\;}}{m}=\sqrt{2}{v}_{1}^{\;}$，${y}_{2}^{\;}=\frac{{L}_{\;}^{2}}{16d}$，${y}_{2}^{′}=2{y}_{2}^{\;}=\frac{{L}_{\;}^{2}}{8d}$
熒光屏上兩個(gè)發(fā)光點(diǎn)之間的距離$△y={y}_{1}^{′}-{y}_{2}^{′}=\frac{{L}_{\;}^{2}}{8d}$
（2）考慮到臨界條件，當(dāng)極板間距為d′時(shí)，電子剛從偏轉(zhuǎn)極板邊緣飛出，則有$\frac{1}{2}d′=\frac{1}{2}a′{t}_{\;}^{2}$
又$a′=\frac{F}{m}=\frac{e{U}_{0}^{\;}}{md′}$，$t=\frac{L}{v}$
整理得，$d{′}_{\;}^{2}=\frac{e{U}_{0}^{\;}{L}_{\;}^{2}}{m{v}_{\;}^{2}}$
對(duì)于速度${v}_{1}^{\;}$時(shí)，$tb3vfxz_{1}^{′}=\sqrt{\frac{e{U}_{0}^{\;}{L}_{\;}^{2}}{m{v}_{1}^{2}}}=\frac{1}{2}L$；對(duì)于速度${v}_{2}^{\;}$時(shí)，$flzp5jd_{2}^{′}=\sqrt{\frac{e{U}_{0}^{\;}{L}_{\;}^{2}}{m{v}_{2}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{4}L$
只調(diào)整偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)極板的間距（仍以虛線為對(duì)稱軸），要使熒光屏上只出現(xiàn)一個(gè)光點(diǎn)，極板間距應(yīng)滿足：$\frac{\sqrt{2}}{4}L＜d′＜\frac{1}{2}L$
（3）要求在某一時(shí)刻形成均勻分布的一段電子束，前后兩段電子束的長(zhǎng)度必須相等（且剛好重疊），第一束長(zhǎng)度：${l}_{1}^{\;}={v}_{1}^{\;}•kT$；第二束長(zhǎng)度：${l}_{2}^{\;}={v}_{2}^{\;}•（T-kT）$；
當(dāng)${l}_{1}^{\;}={l}_{2}^{\;}$時(shí)，即${v}_{1}^{\;}•kT=2{v}_{1}^{\;}（1-k）T$
解得$k=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=2-\sqrt{2}$
答：（1）在0-T時(shí)間內(nèi)，熒光屏上有兩個(gè)位置發(fā)光，這兩個(gè)發(fā)光點(diǎn)之間的距離$\frac{{L}_{\;}^{2}}{8d}$
（2）以偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的中軸線為對(duì)稱軸，只調(diào)整偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)極板的間距，要使熒光屏上只出現(xiàn)一個(gè)光點(diǎn)，極板間距應(yīng)滿足要求$\frac{\sqrt{2}}{4}L＜d′＜\frac{1}{2}L$
（3）撤去偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)及熒光屏，當(dāng)k取恰當(dāng)?shù)臄?shù)值時(shí)，使在0-T時(shí)間內(nèi)通過(guò)電容器B板的所有電子能在某一時(shí)刻形成均勻分布的一段電子束，k的值為$2-\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題利用帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)及其相關(guān)知識(shí)列方程進(jìn)行解答，關(guān)鍵要分析出臨界條件和隱含的條件．