Question

16．如圖所示，寬d的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的上下邊界為MN、PQ，左右足夠長(zhǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一個(gè)質(zhì)量為m，電荷為q的帶電粒子（重力忽略不計(jì)），沿著與PQ成45°的速度v₀射入該磁場(chǎng)．要使該粒子不能從上邊界MN射出磁場(chǎng)，分別求出正、負(fù)粒子入射速度的最大值．

Answer 1

分析 帶電粒子射入磁場(chǎng)中由洛倫茲力充當(dāng)向心力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其速度方向與PQ邊界成45°角，不能從MN邊界射出時(shí)，軌跡與MN相切，從PQ邊界射出時(shí)速度方向與PQ邊界成45°角，畫(huà)子粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出軌跡半徑．根據(jù)牛頓第二定律求解粒子初速度v₀．

解答 解：（1）若粒子帶正電，設(shè)軌道半徑為R₁，軌跡如圖所示．

根據(jù)圖中幾何關(guān)系可得：R₁+R₁cos45°=d，
解得：R₁=$（2-\sqrt{2}）d$；
又R₁=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
解得：v₀=$\frac{（2-\sqrt{2}）qBd}{m}$．　
（2）若粒子帶負(fù)電，設(shè)軌道半徑為R₂，如圖乙所示．

則根據(jù)圖中幾何關(guān)系可得：R₂-R₂cos45°=d，
解得：R₂=$（2+\sqrt{2}）d$；
由于R₂=$\frac{m{v′}_{0}}{qB}$，
解得：$v{′}_{0}=\frac{（2+\sqrt{2}）qBd}{m}$．
答：要使該粒子不能從上邊界MN射出磁場(chǎng)，正粒子入射速度的最大值為$\frac{（2-\sqrt{2}）qBd}{m}$，負(fù)粒子入射速度的最大值為$\frac{（2+\sqrt{2}）qBd}{m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，因?yàn)槌跛俣确较虿淮_定，有兩種情況，不能漏解．畫(huà)出軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)求軌跡半徑是解題的關(guān)鍵．