(25分)磁懸浮列車是一種高速運(yùn)載工具。它具有兩個(gè)重要系統(tǒng)。一是懸浮系統(tǒng),利用磁力(可由超導(dǎo)電磁鐵提供)使車體在導(dǎo)軌上懸浮起來與軌道脫離接觸。另一是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),在沿軌道上安裝的三相繞組(線圈)中,通上三相交流電,產(chǎn)生隨時(shí)間、空間作周期性變化的磁場(chǎng),磁場(chǎng)與固連在車體下端的感應(yīng)金屬板相互作用,使車體獲得牽引力。
為了有助于了解磁懸浮列車的牽引力的來由,我們求解下面的問題。
設(shè)有一與軌道平面垂直的磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t和空間位置x變化規(guī)律為
式中、、均為已知常量,坐標(biāo)軸x與軌道平行。在任一時(shí)刻t,軌道平面上磁場(chǎng)沿x方向的分布是不均勻的,如圖所示。圖中Oxy平面代表軌道平面,“×”表示磁場(chǎng)的方向垂直O(jiān)xy平面指向紙里,“· ”表示磁場(chǎng)的方向垂直O(jiān)xy平面指向紙外。規(guī)定指向紙外時(shí)B取正值!啊痢焙汀啊 ”的疏密程度表示沿著x軸B的大小分布。一與軌道平面平行的具有一定質(zhì)量的金屬矩形框MNPQ處在該磁場(chǎng)中,已知與軌道垂直的金屬框邊MN的長(zhǎng)度為,與軌道平行的金屬框邊MQ的長(zhǎng)度為d,金屬框的電阻為R,不計(jì)金屬框的電感。1.試求在時(shí)刻t,當(dāng)金屬框的MN邊位于x處時(shí)磁場(chǎng)作用于金屬框的安培力,設(shè)此時(shí)刻金屬框沿x軸正方向移動(dòng)的速度為。
2.試討論安培力的大小與金屬框幾何尺寸的關(guān)系。
參考解答:
1.題給的磁場(chǎng)隨時(shí)間和空間的變化具有周期性,在某時(shí)刻,磁場(chǎng)的空間分布為
在時(shí)刻,磁場(chǎng)的空間分布為
比較上面兩式,不難看出,和這兩個(gè)時(shí)刻的磁場(chǎng)的空間分布規(guī)律是相同的,只是時(shí)刻原位于處的磁場(chǎng),經(jīng)歷時(shí)間,在時(shí)刻,出現(xiàn)在處.即整個(gè)磁場(chǎng)的分布經(jīng)時(shí)間間隔沿x軸的正方向平移了一段距離
平移速度
(1)
平移速度為恒量.由此可見,題給出的磁場(chǎng)可視為一在空間按余弦規(guī)律分布的非均勻磁場(chǎng)區(qū)域以速度沿x軸的正方向平移.如果金屬框移動(dòng)的速度小于磁場(chǎng)區(qū)域平移的速度,那么通過金屬框的磁通將隨時(shí)間發(fā)生變化,從而在金屬框中產(chǎn)生感應(yīng)電流,感應(yīng)電流將受到磁場(chǎng)的安培力作用.
由題已知,在時(shí)刻t,金屬框移動(dòng)的速度為,金屬框MN邊位于坐標(biāo)x處,PQ邊位于坐標(biāo)處.設(shè)此時(shí)金屬框的磁通為(規(guī)定由紙內(nèi)到紙外為正);經(jīng)過一很短的時(shí)間間隔,整個(gè)磁場(chǎng)分布區(qū)域向x方向移動(dòng)了一段距離,金屬框向x方向移動(dòng)了一段距離,其結(jié)果是:MN邊左側(cè)穿過面積為的磁通移進(jìn)了金屬框,PQ邊左側(cè)穿過面積為的磁通移出了金屬框,故在時(shí)刻,通過金屬框的磁通為
在時(shí)間間隔內(nèi),通過金屬框的磁通增量為
(2)
規(guī)定框內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)沿順時(shí)針方向(沿回路MNPQM方向)為正,由電磁感應(yīng)定律,可得t時(shí)刻的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)
(3)
規(guī)定金屬框內(nèi)的感應(yīng)電流沿順時(shí)針方向(沿回路MNPQM方向)為正,可得t時(shí)刻的感應(yīng)電流為
(4)
磁場(chǎng)對(duì)于上下兩邊NP和MQ的安培力的大小相等,方向相反,二者的合力為零.規(guī)定向右的力為正,則磁場(chǎng)作用于金屬框MN邊的安培力為;由于PQ邊和MN邊的電流方向相反,磁場(chǎng)作用于金屬框PQ邊的安培力為 ,故金屬框的安培力的合力
(5)
由(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式及題給定的磁場(chǎng)分布規(guī)律,得
(6)
利用三角學(xué)公式,得
(7)
稱為安培力的幅度.從(7)式可以看出,安培力在的幅度內(nèi)隨時(shí)間變化,但其值不會(huì)小于零,表示磁場(chǎng)作用于金屬框的安培力始終向右.
2.討論安培力的大小與線框幾何尺寸的關(guān)系就是討論與線框幾何尺寸的關(guān)系.與金屬框長(zhǎng)度l的平方成正比,與金屬框的寬度d有關(guān):
當(dāng), 即
(8)
得
(9)
當(dāng),即
(10)
達(dá)最大值
(11)
當(dāng)d取其它值時(shí),介于0與最大值之間.
評(píng)分標(biāo)準(zhǔn):
本題25分.
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