Question

17．如圖為福州一中某同學設計的一套自動傳送系統(tǒng)，逆時針轉(zhuǎn)動的傳送帶長L=16m，在A端有一離傳送帶很近的固定擋板，有一質(zhì)量m=1kg的貨箱與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，自動裝貨系統(tǒng)將質(zhì)量M=15kg的貨物裝入貨箱，貨物與貨箱在傳送帶的作用下由靜止從A端向B端運動，到B端時無能量損失得滑上光滑水平面并壓縮輕彈簧，當彈簧被壓縮至最短時自動卸貨系統(tǒng)立即將貨物卸下，然后貨箱被彈回到A端，已知重力加速度g=10m/s²，則
（1）若傳送帶轉(zhuǎn)動的速度為4m/s，求貨物和貨箱從傳送帶A端運動到B端所用的時間．
（2）若為了使貨箱從開始至回到A端過程中，在傳送帶上運動時所用時間最短，則傳送帶轉(zhuǎn)動的速度要滿足什么條件？
（3）若傳送帶轉(zhuǎn)動的速度為5m/s，假設貨箱回到A端與擋板碰撞時無能量損失，則貨箱共能與擋板碰撞多少次？

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)牛頓第二定律求得貨物與貨箱一起向左運動的加速度，再由速度公式求得加速到與傳送帶達到相同速度的時間，由位移公式求得加速過程的位移，再得到勻速運動的位移，求出勻速運動的時間，即可得到總時間．
（2）為了使貨箱從A端開始再次回到A端時在傳送帶上所用時間最短，貨箱與貨物從A端到B端要一直勻加速運動，由動能定理求得傳送帶轉(zhuǎn)動的最小速度，從而得到
傳送帶轉(zhuǎn)動的速度要滿足的條件．
（3）分過程，由能量守恒定律和動能定理結(jié)合研究貨箱共能與擋板碰撞的次數(shù)．

解答 解：（1）設貨物與貨箱一起向左運動的加速度為a，由牛頓第二定律可得
   a=$\frac{μ（m+M）g}{m+M}$
經(jīng)過時間t₁與傳送帶達到相同速度 v₁=at₁；
此過程貨箱的位移 s₁=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$
由以上各式解得 t₁=2s，s₁=4m＜16m  
此后貨箱與傳送帶一起勻速運動，運動時間 t₂=$\frac{L-{s}_{1}}{v}$=$\frac{16-4}{4}$=3s
總時間 t=t₁+t₂=5s
（2）為了使貨箱從A端開始再次回到A端時在傳送帶上所用時間最短，貨箱與貨物從A端到B端要一直勻加速運動，由動能定理得：
   μ（m+M）gL=$\frac{1}{2}（m+M）{v}_{0}^{2}$   
傳送帶速度 v₂≥v₀．
則解得傳送帶速度 v₂≥8m/s
（3）由（2）分析可知，當貨箱到B端時速度等于傳送帶速度v₃，設離開彈簧時的速度為v，貨箱在與彈簧相互作用過程中，根據(jù)能量守恒可得
   $\frac{1}{2}（m+M）{v}_{3}^{2}$=E_p；
  E_p=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 v=20m/s
設當貨箱從離開彈簧到速度減為5m/s時相對于地面的位移為s，由動能定理可得
-μmgs=$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得  s=93.75m
因$\frac{s}{L}$≈5.86
則貨箱從第一次離開彈簧到相對傳送帶靜止過程中，貨箱與擋板共碰撞了3次．
答：
（1）貨物和貨箱從傳送帶A端運動到B端所用的時間是5s．
（2）傳送帶轉(zhuǎn)動的速度要滿足的條件是v₂≥8m/s．
（3）貨箱共能與擋板碰撞3次．

點評 本題物體在傳送帶上的運動問題，關鍵根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，結(jié)合運動學規(guī)律確定貨箱的運動情況．