Question

4．如圖所示，在xOy坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一點(diǎn)狀的放射源，它向xOy平面內(nèi)的x軸上方各個(gè)方向發(fā)射α粒子，α粒子的速度大小均為v₀，在0＜y＜d的區(qū)域內(nèi)分布有指向y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2qd}$，其中q與m分別為α粒子的電量和質(zhì)量；在d＜y＜2d的區(qū)域內(nèi)分布有垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，mn為電場(chǎng)和磁場(chǎng)的邊界．a(chǎn)b為一塊很大的平面感光板垂直于xOy平面且平行于x軸，放置于y=2d處，如圖所示．觀察發(fā)現(xiàn)此時(shí)恰好無(wú)粒子打到ab板上（不考慮粒子的重力及粒子間的相互作用），求：
（1）α粒子通過(guò)電場(chǎng)和磁場(chǎng)邊界mn時(shí)的速度大小及距y軸的最大距離；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求出粒子到達(dá)的最遠(yuǎn)距離；根據(jù)動(dòng)能定理求出α粒子剛進(jìn)人磁場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能．
（2）粒子沿x軸正方向射出的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)的角度最大，若該粒子進(jìn)入磁場(chǎng)不能打在ab板上，則所有粒子均不能打在ab板上．根據(jù)帶電粒子在電場(chǎng)中類平拋運(yùn)動(dòng)，求出進(jìn)入磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角度，結(jié)合幾何關(guān)系得出軌道半徑，從而得出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�

解答 解：（1）據(jù)題意，當(dāng)α粒子沿x軸方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，做類平拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到mn上時(shí)與y軸距離最大有：
由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知：
豎直方向上：d=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
水平方向：x=v₀t
粒了孤加速度：a=$\frac{qE}{m}$
而由題意可知：E=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qd}$
聯(lián)立解得：最遠(yuǎn)距離為：x=$\frac{2\sqrt{3}d}{3}$
根據(jù)動(dòng)能定理可以求得α粒子通過(guò)電場(chǎng)和磁場(chǎng)邊界mn時(shí)的速度大小為：
qEd=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得v=2v₀；
（2）要使粒子打不到屏ab上，沿x軸方向向右運(yùn)動(dòng)的粒子通過(guò)mn后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，剛好與屏ab相切，則有：
R+Rsin30°=d
R=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$
解得：B=$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$
答：（1）α粒子通過(guò)電場(chǎng)和磁場(chǎng)邊界mn時(shí)的速度大小為2v₀；及距y軸的最大距離為$\frac{2\sqrt{3}d}{3}$
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵確定粒子運(yùn)動(dòng)的臨界情況，通過(guò)幾何關(guān)系解決，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)幾何能力要求較高．注意粒子在電場(chǎng)中時(shí)要利用運(yùn)動(dòng)的合成和分解規(guī)律求解．