Question

如圖所示，兩個(gè)圓形光滑細(xì)管在豎直平面內(nèi)交疊，組成“8”字形通道，在“8”字形通道底端B處連接一內(nèi)徑相同的粗糙水平直管AB．已知E處距地面的高度h=3.2m，一質(zhì)量m=1kg的小球a從A點(diǎn)以速度v₀=12m/s的速度向右進(jìn)入直管道，到達(dá)B點(diǎn)后沿“8”字形軌道向上運(yùn)動(dòng)，到達(dá)D點(diǎn)時(shí)恰好與軌道無(wú)作用力，直接進(jìn)入DE管（DE管光滑），并與原來(lái)靜止于E處的質(zhì)量為M=4kg的小球b發(fā)生正碰（ab均可視為質(zhì)點(diǎn)）．已知碰撞后a球沿原路返回，速度大小為碰撞前速度大小的

1

3

，而b球從E點(diǎn)水平拋出，其水平射程s=0.8m，（g取10m/s²）
（1）求碰后b球的速度大��？
（2）求“8”字形管道上下兩圓的半徑r和R．
（3）若小球a在管道AB中運(yùn)動(dòng)時(shí)所受阻力為定值，請(qǐng)判斷a球返回到BA管道中時(shí)能否從A端穿出？

Answer 1

分析：（1）碰后b球做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，據(jù)此列方程即可求解．
（2）根據(jù)碰撞過(guò)程動(dòng)量守恒，求出碰前a球速度，由于a球“到達(dá)D點(diǎn)時(shí)恰好與軌道無(wú)作用力”，即重力提供向心力，根據(jù)向心力公式求出上半圓的半徑，然后由幾何關(guān)系即可求出下半圓半徑．
（3）小球在豎直軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒，求出小球在B點(diǎn)動(dòng)能，然后根據(jù)動(dòng)能定理求出從A到B過(guò)程中小球克服摩擦力做功，再根據(jù)機(jī)械能守恒求出小球返回到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能，從而進(jìn)一步根據(jù)功能關(guān)系判斷小球是否能返回A點(diǎn)．

解答：解：（1）b球離開(kāi)DE后做平拋運(yùn)動(dòng)：
h=

gt2

2

s=v_bt                         
解得 v_b=1m/s   
故碰后b球的速度大小為：v_b=1m/s．                            
（2）ab碰撞過(guò)程，動(dòng)量守恒，以水平向右為正方向：
mva=-m

va

3

+Mvb
V_a=3m/s                                
碰前a在D處恰好與軌道無(wú)作用力：
mg=

m v 2 a

r

r=0.9m                                
R=

h-2r

2

=0.7m
故上半圓半徑r=0.9m，下半圓半徑R=0.7m．   
（3）小球從B到D，機(jī)械能守恒：

1

2

m

v

2 B

=

1

2

m

v

2 a

+mgh
解得：

1

2

m

v

2 B

=36.5J
從A到B過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
-Wf=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 0

解得：W_f=35.5J                      
從D到B，機(jī)械能守恒有：

1

2

m(

v   a

3

)2+mgh=

1

2

m

v

′2 B

解得：

1

2

m

v

′2 B

=32.5J＜W_f                    
故，a球返回到BA管道中時(shí)，不能從A端穿出．

點(diǎn)評(píng)：本題過(guò)程較多較復(fù)雜，充分考查了學(xué)生應(yīng)用物理知識(shí)解題的綜合能力，但是只要把握功能關(guān)系這條主線，然后結(jié)合動(dòng)量守恒、向心力公式等知識(shí)點(diǎn)便能正確解答，在平時(shí)要加強(qiáng)這方面能力的訓(xùn)練．