Question

人造地球衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)（設(shè)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)）時(shí)，既具有動(dòng)能又具有引力勢(shì)能（引力勢(shì)能實(shí)際上是衛(wèi)星與地球共有的，簡略地說此勢(shì)能是人造衛(wèi)星所具有的）。設(shè)地球的質(zhì)量為M，以衛(wèi)星離地還需無限遠(yuǎn)處時(shí)的引力勢(shì)能為零，則質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在距離地心為r處時(shí)的引力勢(shì)能為（G為萬有引力常量）。
（1）試證明：在大氣層外任一軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星所具有的機(jī)械能的絕對(duì)值恰好等于其動(dòng)能。
（2）當(dāng)物體在地球表面的速度等于或大于某一速度時(shí)，物體就可以掙脫地球引力的束縛，成為繞太陽運(yùn)動(dòng)的人造行星，這個(gè)速度叫做第二宇宙速度，用v₂表示。用R表示地球的半徑，M表示地球的質(zhì)量，G表示萬有引力常量.試寫出第二宇宙速度的表達(dá)式。
（3）設(shè)第一宇宙速度為v₁，證明：。

Answer 1

（1）   （2）
（3）第一宇宙速度即為繞地球表面運(yùn)行的速度，故有：
  
得   所以有：

（1）設(shè)衛(wèi)星在半徑為r的軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度為v，地球的質(zhì)量為M，
衛(wèi)星的質(zhì)量為m。有萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力：
　                                  
所以，人造衛(wèi)星的動(dòng)能： 　        
衛(wèi)星在軌道上具有的引力勢(shì)能為：   　
所以衛(wèi)星具有的機(jī)械能為：
 
所以：                        
（2）設(shè)物體在地于表面的速度為v₂，當(dāng)它脫離地球引力時(shí)，此時(shí)速度為零，由機(jī)械能守恒定律得：
                                      
得：                                      
（3）第一宇宙速度即為繞地球表面運(yùn)行的速度，故有：
  
得      所以有：