Question

4．許多電磁現(xiàn)象可以用力的觀點(diǎn)來分析，也可以用動量、能量等觀點(diǎn)來分析和解釋．
（1）如圖1所示，足夠長的平行光滑金屬導(dǎo)軌水平放置，導(dǎo)軌間距為L，一端連接阻值為R的電阻．導(dǎo)軌所在空間存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．質(zhì)量為m、電阻為r的導(dǎo)體棒MN放在導(dǎo)軌上，其長度恰好等于導(dǎo)軌間距，與導(dǎo)軌接觸良好．在平行于導(dǎo)軌、大小為F的水平恒力作用下，導(dǎo)體棒從靜止開始沿導(dǎo)軌向右運(yùn)動．
a．當(dāng)導(dǎo)體棒運(yùn)動的速度為v時，求其加速度a的大��；
b．已知導(dǎo)體棒從靜止到速度達(dá)到穩(wěn)定所經(jīng)歷的時間為t，求這段時間內(nèi)流經(jīng)導(dǎo)體棒某一橫截面的電荷量q．
（2）在如圖2所示的閉合電路中，設(shè)電源的電動勢為E，內(nèi)阻為r，外電阻為R，其余電阻不計(jì)，電路中的電流為I．請你根據(jù)電動勢的定義并結(jié)合能量轉(zhuǎn)化與守恒定律證明：I=$\frac{E}{R+r}$．

Answer 1

分析 （1）a．先根據(jù)導(dǎo)體棒切割磁感線求出感應(yīng)電流，在根據(jù)牛頓第二定律就可以求出加速度a．
b．先求出導(dǎo)體棒的最大速度，根據(jù)動量定理有：Pt-BL∑$\overline{I}$△t=mv_m 結(jié)合q=∑$\overline{I}△t$ 就可以求出這段時間內(nèi)流經(jīng)導(dǎo)體棒某一橫截面的電荷量q
（2）根據(jù)電動勢的定義有：E=$\frac{{W}_{非}}{q}$，再根據(jù)能量守恒定律，非靜電力做的功應(yīng)該等于內(nèi)外電路產(chǎn)生焦耳熱的總和就可以證明：I=$\frac{E}{R+r}$．

解答 解：（1）a．當(dāng)導(dǎo)體棒運(yùn)動的速度為v時，電路中的感應(yīng)電動勢為：E=BLV…①
電流為：I=$\frac{E}{R+r}$  ②
導(dǎo)體棒所受的安培力為F_安=BIL  ③
根據(jù)牛頓第二定律可得：a=$\frac{F-{F}_{安}}{m}$  ④
聯(lián)立①②③④式可得：a=$\frac{F}{m}$-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{m（R+r）}$  ⑤
b．設(shè)導(dǎo)體棒運(yùn)動穩(wěn)定的速度為v_m，令⑤式中的a=0，v=v_m，
可得：v_m=$\frac{F（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$  ⑥
設(shè)某段極短的時間△t內(nèi)，電路的電流為i，則安培力在這段時間內(nèi)的沖量為BiL△t，在時間t內(nèi)，根據(jù)動量定理有：Ft-BL∑$\overline{I}$△t=mv_m ⑦
其中，q=∑$\overline{I}△t$     ⑧
聯(lián)立⑥⑦⑧式可得：q=$\frac{FT}{BL}$-$\frac{F（R+r）}{{B}^{3}{L}^{3}}$m     
（2）根據(jù)電動勢的定義有：E=$\frac{{W}_{非}}{q}$    ⑨
在時間t 內(nèi)通過電路的電荷量為：q=It   ⑩
根據(jù)能量守恒定律，非靜電力做的功應(yīng)該等于內(nèi)外電路產(chǎn)生焦耳熱的總和．
即：W_非=Q_外+Q_內(nèi)
在時間t內(nèi)：Q_外=I²Rt       Q_內(nèi)=I²rt
聯(lián)立⑨⑩式可得：EIt=I²Rt+I²rt
整理后可得：I=$\frac{E}{R+r}$    
答：（1）a．當(dāng)導(dǎo)體棒運(yùn)動的速度為v時，加速度a為  $\frac{F}{m}$-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{m（R+r）}$；
b．已知導(dǎo)體棒從靜止到速度達(dá)到穩(wěn)定所經(jīng)歷的時間為t，這段時間內(nèi)流經(jīng)導(dǎo)體棒某一橫截面的電荷量q為  $\frac{FT}{BL}$-$\frac{F（R+r）}{{B}^{3}{L}^{3}}$m．
（2）根據(jù)電動勢的定義并結(jié)合能量轉(zhuǎn)化與守恒定律可證：I=$\frac{E}{R+r}$．

點(diǎn)評 此題考查電磁感應(yīng)與牛頓第二定律相結(jié)合的題目，導(dǎo)體棒做加速運(yùn)動，當(dāng)加速度為0時，速度達(dá)到最大值，再根據(jù)能量守恒定律，非靜電力做的功應(yīng)該等于內(nèi)外電路產(chǎn)生焦耳熱的總和，就可以證明：I=$\frac{E}{R+r}$