Question

（2007?深圳二模）科學(xué)家在地球軌道外側(cè)發(fā)現(xiàn)了一顆繞太陽運(yùn)行的小行星，經(jīng)過觀測該小行星每隔t時(shí)間與地球相遇一次（即距離最近），已知地球繞太陽公轉(zhuǎn)半徑是R，周期是T，設(shè)地球和小行星都是圓軌道，且在同一個(gè)面同向轉(zhuǎn)動(dòng)，求
（1）太陽的質(zhì)量
（2）小行星與地球的最近距離．

Answer 1

分析：（1）地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解；
（2）該小行星每隔t時(shí)間與地球相遇一次，即t時(shí)間內(nèi)地球多轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，可以求解出小行星的周期；然后根據(jù)萬有引力提供向心力列式求解出軌道半徑，兩個(gè)半徑之差為最小距離．

解答：解：地球繞太陽運(yùn)動(dòng)G

Mm

R2

=m

4π2R

T2

   
故太陽的質(zhì)量為：M=

4π2R3

GT2

 
（2）設(shè)小行星運(yùn)行周期為T₁，

t

T

-

t

T1

=1
對小行星，有：G

Mm1

R12

=m1

4π2R1

T12

 
解得：R1=

3	t2 (t-T)2 R

    
∴小行星與地球最近距離S=R₁-R=（

3	t2 (t-T)2

-1）R
答：（1）太陽的質(zhì)量為

4π2R3

GT2

；
（2）小行星與地球的最近距離為（

3	t2 (t-T)2

-1）R．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵建立行星勻速圓周運(yùn)動(dòng)的模型，然后根據(jù)萬有引力提供向心力列式求解，不難．