Question

15．在足夠長(zhǎng)的傾角為θ=37°的斜面上有一長(zhǎng)L=27m的木板，上下表面均與斜面平行，木板與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁=0.5．木板上端有一質(zhì)量與木板相同的小物塊（可看成質(zhì)點(diǎn)），物塊和木板上部分的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂=0.375，二者均處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖所示．某時(shí)刻起物塊和木板同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，準(zhǔn)確測(cè)量發(fā)現(xiàn)，運(yùn)動(dòng)2s后，木板的上表面突然變光滑，但木板與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)保持不變．設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度大小g=10m/s²．求：
（1）在前2秒時(shí)間內(nèi)物塊和木板的加速度各為多大
（2）物塊在木板上運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）分別以物塊和木板為研究對(duì)象，根據(jù)受力情況結(jié)合牛頓第二定律求解加速度大��；
（2）根據(jù)牛頓第二定律求解木板減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小并計(jì)算減速到零的時(shí)間，計(jì)算此過(guò)程中二者的位移；最后木板靜止，根據(jù)勻加速直線運(yùn)動(dòng)求解時(shí)間，并求出總的時(shí)間

解答 解：（1）設(shè)物塊的加速度為a₁，質(zhì)量為m，沿斜面方向根據(jù)牛頓第二定律可得：
mgsin37°-μ₂mgcos37°=ma₁，
代入數(shù)據(jù)解得a₁=3m/s²；
設(shè)木板的加速度為a₂，沿斜面方向根據(jù)牛頓第二定律可得：
mgsin37°+μ₂mgcos37°-μ₁•2mgcos37°=ma₂，
代入數(shù)據(jù)解得：a₂=1m/s²；
（2）t₁=2s時(shí)間內(nèi)物塊的位移為：x₁=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×3×4m=6m$，
速度大小為：v₁=a₁t₁=3×2m/s=6m/s；
此過(guò)程中木板的位移為：${x}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×1×4m=2m$，
速度大小為：v₂=a₂t₂=1×2m/s=2m/s；
此后木板減速運(yùn)動(dòng)的加速度為：a₃=μ₁•2gcos37°-gsin37°=2m/s²，
減速到零的時(shí)間為：${t}_{2}=\frac{{v}_{2}}{{a}_{3}}=\frac{2}{2}s=1s$，
此過(guò)程中木板的位移為：$x{′}_{2}=\frac{{v}_{2}}{2}{t}_{2}=\frac{2}{2}×1m=1m$，
物塊在光滑部分的加速度為：a₄=gsin37°=6m/s²，
木板減速到零時(shí)物塊的位移為：x′₁=v₁t₂+$\frac{1}{2}{a}_{4}{t}_{2}^{2}$=6×1+$\frac{1}{2}×6×{1}^{2}$=9m，
此時(shí)物塊的速度為：v₂=v₁+a₄t₂=6+6×1=12m/s，
以后木板靜止，物塊做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，再經(jīng)過(guò)t₃時(shí)間滑出木板，則物塊以后加速運(yùn)動(dòng)的位移為：x=L-（x₁-x₂）-（x′₁-x′₂）=27-4-8=15m，
根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系可得：$x={v}_{2}{t}_{3}+\frac{1}{2}{a}_{4}{t}_{3}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：t₃=1s；
所以物塊在木板上運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：t=t₁+t₂+t₃=2s+1s+1s=4s．
答：（1）在前2秒時(shí)間內(nèi)物塊的加速度為3m/s²，木板的加速度為1m/s²；
（2）物塊在木板上運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為4s．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于牛頓第二定律的綜合應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是弄清楚物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程和受力情況，利用牛頓第二定律或運(yùn)動(dòng)學(xué)的計(jì)算公式求解加速度，再根據(jù)題目要求進(jìn)行解答；知道加速度是聯(lián)系靜力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的橋梁．