Question

19．光滑的長(zhǎng)軌道形狀如圖所示，底部為半圓形，其半徑為R，固定在豎直平面內(nèi)．A、B兩質(zhì)量相同都為m的小環(huán)用長(zhǎng)為R的輕桿連接在一起，套在軌道上．將A、B兩環(huán)從圖示位置靜止釋放，A環(huán)距離底端為2R．不考慮輕桿和軌道的接觸，即忽略系統(tǒng)機(jī)械能的損失，當(dāng)A、B環(huán)進(jìn)入半圓時(shí)速率相同，求：
（1）A、B兩環(huán)都未進(jìn)入軌道底部半圓形前，桿對(duì)A的作用力F；
（2）當(dāng)A環(huán)下滑至軌道最低點(diǎn)時(shí)，A、B的速度大��；
（3）在A環(huán)下滑至軌道最低點(diǎn)的過(guò)程中時(shí)，桿對(duì)B所做的功W_B．

Answer 1

分析 （1）兩個(gè)環(huán)以及連桿整體自由下落，處于完全失重狀態(tài)，故桿上彈力為零；
（2）A環(huán)到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，兩環(huán)具有相同角速度，則兩環(huán)速度大小一定相等；根據(jù)幾何關(guān)系找到B環(huán)的位置，然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解出各自的速度；
（3）對(duì)B球，運(yùn)用動(dòng)能定理列式，可求得桿對(duì)B所做的功W_B．

解答 解：（1）兩環(huán)都未進(jìn)入半圓形軌道前都做自由落體運(yùn)動(dòng)，加速度為g，則由牛頓第二定律知，兩球的合力均等于各自的重力，所以桿上的作用力 F=0．
（2）當(dāng)A環(huán)到達(dá)軌道最低點(diǎn)時(shí)，B環(huán)也已進(jìn)入半圓軌道（如右圖所示），由幾何關(guān)系知兩環(huán)的速度大小相等，設(shè)為v，由機(jī)械能守恒定律得：
    $\frac{1}{2}$•2mv²=mg•2R+mg（2R+Rsin 30°）
解得：v=3$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
（3）對(duì)B從起始位置到A到最低點(diǎn)對(duì)應(yīng)B的末位置用動(dòng)能定理得：
  mg•（2R+Rsin30°）+W_B=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
所以W_B=-$\frac{mgR}{4}$
答：
（1）A、B兩環(huán)都未進(jìn)入軌道底部半圓形前，桿對(duì)A的作用力F為0；
（2）當(dāng)A環(huán)下滑至軌道最低點(diǎn)時(shí)，A、B的速度大小都是3$\sqrt{\frac{gR}{2}}$；
（3）在A環(huán)下滑至軌道最低點(diǎn)的過(guò)程中時(shí)，桿對(duì)B所做的功W_B是-$\frac{mgR}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的第1小題，也可根據(jù)完全失重的特點(diǎn)分析．要抓住兩球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，但單個(gè)小球的機(jī)械能并不守恒．第3小題，也可以這樣解：對(duì)A從起始位置到最低點(diǎn)，用動(dòng)能定理得：mg•2R+W_A=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得，桿對(duì) A所做的功 W_A=$\frac{mgR}{4}$．對(duì)系統(tǒng)A、B機(jī)械能守恒，所以 W_B=-W_A=-$\frac{mgR}{4}$．