Question

1．如圖所示，在半徑為b（大小未知）的圓形區(qū)域內(nèi)，固定放置一絕緣材料制成的邊長為L的彈性等邊三角形框架DEF，其中心O位于磁場區(qū)域的圓心．在三角形框架DEF與圓周之間的空間中，充滿磁感應強度大小為B的均勻磁場，其方向垂直紙而向里．在三角形DEF內(nèi)放置平行板電容器MN，兩板間距為d，N板緊靠EF邊，N板及EF中點S處均開有小孔，在兩板間靠近M板處有一質(zhì)量為m，電量為q （q＞0）的帶電粒子由靜止釋放，粒子經(jīng)過S處的速度大小為v=$\frac{qBL}{2m}$，方向垂直于EF邊并指向磁場．若粒子與三角形框架的碰撞均為彈性碰撞，且粒子在碰撞過程中質(zhì)量、電量均不變，不計帶電粒子的重力，平行板電容器MN產(chǎn)生的電場僅限于兩板間，求：
（1）MN間勻強電場的場強大��；
（2）若從S點發(fā)射出的粒子能再次返回S點，則圓形區(qū)域的半徑b至少為多大？
（3）若圓形區(qū)域的半徑b滿足第（2）問的條件，則從M板處出發(fā)的帶電粒子第一次返回M板處的時間是多少．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在勻強電場中做勻加速直線運動，由動能定理求出MN間勻強電場的場強大�。�
（2）帶電粒子在勻強磁場中，只受洛倫茲力作用，由洛倫茲力提供向心做勻速圓周運動，畫出運動的軌跡圖，由結(jié)合幾何關(guān)系和圓周運動規(guī)律，求出圓形區(qū)域的半徑b的最小值；
 （3）根據(jù)帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡圖，找到圓周運動的圓心角，結(jié)合圓周運動周期公式，求出在磁場中運動的時間；帶電粒子在電場中做勻加速直線運動，根據(jù)勻加速直線運動的規(guī)律，求出在電場中運動的時間，兩個時間相加得出運動的總時間．

解答 解：（1）帶電粒子在勻強電場中做勻加速直線運動，
               由動能定理：$Eqd=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
                得：$E=\frac{{qB}^{2}{L}^{2}}{8dm}$； 
       （2）帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，運動軌跡如圖，
                       
               由洛倫茲力提供向心力：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$
                                                $r=\frac{mv}{qB}=\frac{L}{2}$
               粒子運動軌跡與磁場圓內(nèi)切時磁場圓半徑最小，
               由幾何關(guān)系得：
                $_{min}=r+\frac{\sqrt{3}}{3}L=（\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}）L$
        （3）粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期：$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$，
           由運動軌跡知粒子在磁場中重復運動三次，圓心角為300°，
           粒子在磁場中運動的總時間：${t}_{1}=3×\frac{300°}{360°}T=3×\frac{5}{6}T=\frac{5πm}{qB}$，
           帶電粒子在勻強電場中做勻加速直線運動，由M到N和N到M的時間相等，
           粒子在電場中運動的平均速度：$\overline{v}=\frac{v}{2}$，
           粒子在電場中運動的總時間：${t}_{2}=2×\fracwm0c4ac{\overline{v}}=\frac{8md}{BqL}$，
           則粒子運動一周的總時間：$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{5πm}{qB}+\frac{8md}{qBL}$，
答：（1）MN間勻強電場的場強大小為$E=\frac{{qB}^{2}{L}^{2}}{8dm}$；
       （2）圓形區(qū)域的半徑b的最小值為$_{min}=（\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}）L$；
       （3）粒子從M板處出發(fā)的帶電粒子第一次返回M板處的時間是$t=\frac{5πm}{qB}+\frac{8md}{qBL}$．

點評 本題是帶電粒子在復合場中的周期性運動問題，綜合性較強，熟練應用動能定理和牛頓運動定律是解決帶電粒子在勻強電場中運動的關(guān)鍵；而畫出運動軌跡，找?guī)缀侮P(guān)系結(jié)合洛倫茲力提供向心力立方程，則是解決帶電粒子在勻強磁場中運動的關(guān)鍵；第三問要求第一次返回到M板的時間，讀題過程容易理解成第一次回到S點的時間，是一個易錯點．