Question

6．一平臺的局部如圖甲所示，水平面為光滑，豎直面為粗糙，右角上固定一定滑輪，在水平面上放著一質(zhì)量m_A=2.0kg，厚度可忽略不計(jì)的薄板A，薄板A長度L=1.5m，在板A上疊放著質(zhì)量m_B=1.0kg，大小可忽略的物塊B，物塊B與板A之間的動摩擦因數(shù)為μ=O.6，一輕繩繞過定滑輪，輕繩左端系在物塊B上，右端系住物塊C，物塊C剛好可與豎直面接觸．起始時(shí)令各物體都處于靜止?fàn)顟B(tài)，繩被拉直，物塊B位于板A的左端點(diǎn)，然后放手，設(shè)板A的右端距滑輪足夠遠(yuǎn)，臺面足夠高，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，忽略滑輪質(zhì)量及其與軸之間的摩擦，g取10m/s₂，求
（1）若物塊C質(zhì)量m_c=1.0kg，推理判斷板A和物塊B在放手后是否保持相對靜止；
（2）若物塊C質(zhì)量m_c′=3.0kg，從放手開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過去t=2．Os，物塊C下降的高度；
（3）若物塊C質(zhì)量m_c=1.0kg，固定住物塊B，物塊C靜止，現(xiàn)剪斷輕繩，同時(shí)也對物塊C施加力F，方向水平向左，大小隨時(shí)間變化如圖乙所示，斷繩時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過t′=2．Os，物塊C恰好停止運(yùn)動，求物塊C與豎直面之間的動摩擦因數(shù)和此過程中的最大速度．

Answer 1

分析 （1）對ABC整體研究，假設(shè)一起運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，再隔離分析求出AB間的摩擦力，與最大靜摩擦力比較，判斷是否保持相對靜止．
（2）通過整體隔離分析得出A與B發(fā)生相對滑動，根據(jù)牛頓第二定律分別求出A、B的加速度，結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式進(jìn)行求解．
（3）通過牛頓第二定律得出C加速度的表達(dá)式，作出圖線，結(jié)合圖線與時(shí)間軸圍成的面積進(jìn)行求解．

解答 解：（1）設(shè)ABC一起運(yùn)動，以ABC為系統(tǒng)，根據(jù)牛頓第二定律：
m_Cg=（m_A+m_B+m_C）a₁，
代入數(shù)據(jù)解得：a₁=2.5m/s²，
對A，根據(jù)牛頓第二定律：f=m_Aa₁=2×2.5N=5N，
AB間最大靜摩擦力：f_m=μm_Bg=6.0N，
由于f＜f_m，假設(shè)成立，A與B相對靜止．
（2）設(shè)ABC一起運(yùn)動，以ABC為系統(tǒng)，根據(jù)牛頓第二定律有：
m_C′g=（m_A+m_B+m_C′）a₂，
代入數(shù)據(jù)解得：a₂=5.0m/s²
對A，根據(jù)牛頓第二定律得：f′=m_Aa₂=2×5N=10N，
由于f′＞f_m，假設(shè)不成立，A與B相對滑動．
對A，根據(jù)牛頓第二定律，μm_Bg=m_Aa_A，代入數(shù)據(jù)解得：a_A=3.0m/s²，
對BC為系統(tǒng)，根據(jù)牛頓第二定律：
m_C′g-μm_Bg=（m_B+m_C′）a_B，
代入數(shù)據(jù)解得：a_B=6.0m/s²．
設(shè)經(jīng)t₁時(shí)間B運(yùn)動到A的右端，則有：$\frac{1}{2}$a_Bt₁²-$\frac{1}{2}$a_At₁²=L，
代入數(shù)據(jù)解得：t₁=1.0s．
B第一段的位移：${s}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{B}{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×6×1m=3m$．
經(jīng)t₁時(shí)間B運(yùn)動的速度：v₁=a_Bt₁=6×1m/s=6m/s，
B在光滑平面上滑動，對BC為系統(tǒng)，根據(jù)牛頓第二定律：
m_C′g=（m_B+m_C′）a_B′，
代入數(shù)據(jù)解得：a′_B=7.5m/s²，
B第二段的位移為：${s}_{2}={v}_{1}（t-{t}_{1}）+\frac{1}{2}{a}_{B}（t-{t}_{1}）^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：s₂=9.75m，
物塊C下降的高度：h=s₁+s₂=3+9.75m=12.75m．
（3）設(shè)C與豎直面的動摩擦因數(shù)為μ′，
令k=20N/s，
根據(jù)圖乙可得，F(xiàn)=kt，
對C水平方向：N=F，
C受摩擦力f_C=μ′N，
以C為對象，有：m_Cg-f_C=m_Ca_C，
聯(lián)立解得：${a}_{C}=g-\frac{μ′kt}{{m}_{C}}$=（10-20μ′t）m/s²，
由上式可得如圖的圖象，t=t′=2s，物塊v=0，則：a_C=-10m/s²，
代入數(shù)據(jù)解得：μ′=0.5．
由圖可知t=1s時(shí)速度最大，最大速度等于圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積，有：
${v}_{m}=\frac{1}{2}×1×10m/s=5m/s$．
答：（1）A與B相對靜止．
（2）物塊C下降的高度為12.75m．
（3）物塊C與豎直面之間的動摩擦因數(shù)為0.5，此過程中的最大速度為5m/s．

點(diǎn)評 本題考查了牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式的綜合運(yùn)用，涉及多過程問題，難度較大，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵理清物體的運(yùn)動規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式進(jìn)行求解．對于第三問，得出C的加速度表達(dá)式是關(guān)鍵，知道a-t圖線圍成的面積表示速度的變化量．