Question

（2013?惠州三模）如圖所示的軌道由半徑為R的1/4光滑圓弧軌道AB、豎直臺(tái)階BC、足夠長(zhǎng)的光滑水平直軌道CD組成．小車(chē)的質(zhì)量為M，緊靠臺(tái)階BC且上水平表面與B點(diǎn)等高．一質(zhì)量為m的可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊自圓弧頂端A點(diǎn)由靜止下滑，滑過(guò)圓弧的最低點(diǎn)B之后滑到小車(chē)上．已知M=4m，小車(chē)的上表面的右側(cè)固定一根輕彈簧，彈簧的自由端在Q點(diǎn)，小車(chē)的上表面左端點(diǎn)P與Q點(diǎn)之間是粗糙的，滑塊與PQ之間表面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，Q點(diǎn)右側(cè)表面是光滑的．求：
（1）滑塊滑到B點(diǎn)的瞬間對(duì)圓弧軌道的壓力大�。�
（2）要使滑塊既能擠壓彈簧，又最終沒(méi)有滑離小車(chē)，則小車(chē)上PQ之間的距離應(yīng)在什么范圍內(nèi)？（滑塊與彈簧的相互作用始終在彈簧的彈性范圍內(nèi)）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出滑塊到達(dá)B點(diǎn)的速度，再根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對(duì)滑塊的支持力，從而求出滑塊對(duì)圓弧軌道的壓力大小．
（2）滑塊最終沒(méi)有離開(kāi)小車(chē)，滑塊和小車(chē)必然具有共同的末速度，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出共同的速度，根據(jù)能量守恒求出滑塊與彈簧恰好不碰撞時(shí)PQ的長(zhǎng)度，該長(zhǎng)度為最大長(zhǎng)度．小車(chē)PQ之間的距離L不是很大，則滑塊必然擠壓彈簧，由于Q點(diǎn)右側(cè)是光滑的，滑塊必然被彈回到PQ之間，設(shè)滑塊恰好回到小車(chē)的左端P點(diǎn)處，根據(jù)動(dòng)量守恒和能量守恒求出L的最小值．從而得出L的范圍．

解答：解：（1）設(shè)滑塊滑到B點(diǎn)的速度大小為v，到B點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)滑塊的支持力為N，由機(jī)械能守恒定律有
mgR=

1

2

mv2…①
滑塊滑到B點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律有：
N-mg=m

v2

R

…②
聯(lián)立①②式解得：N=3mg…③
根據(jù)牛頓第三定律，滑塊在B點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大小為：N′=3mg
（2）滑塊最終沒(méi)有離開(kāi)小車(chē)，滑塊和小車(chē)必然具有共同的末速度設(shè)為u，滑塊與小車(chē)組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，有mv=（M+m）u…④
若小車(chē)PQ之間的距離L足夠大，則滑塊可能不與彈簧接觸就已經(jīng)與小車(chē)相對(duì)靜止，設(shè)滑塊恰好滑到Q點(diǎn)，由功能關(guān)系有μmgL=

1

2

mv2-

1

2

(M+m)u2…⑤
聯(lián)立①④⑤式解得：L=

4R

5μ

…⑥
若小車(chē)PQ之間的距離L不是很大，則滑塊必然擠壓彈簧，由于Q點(diǎn)右側(cè)是光滑的，滑塊必然被彈回到PQ之間，設(shè)滑塊恰好回到小車(chē)的左端P點(diǎn)處，由功能關(guān)系有
2μmgL=

1

2

mv2-

1

2

(M+m)u2…⑦
聯(lián)立①④⑦式解得  L=

2R

5μ

…⑧
綜上所述并由⑥⑧式可知，要使滑塊既能擠壓彈簧，又最終沒(méi)有離開(kāi)小車(chē)，PQ之間的距離L應(yīng)滿(mǎn)足的范圍是：

2R

5μ

≤L＜

4R

5μ

…⑨
答：（1）滑塊滑到B點(diǎn)的瞬間對(duì)圓弧軌道的壓力大小3mg．
（2）PQ之間的距離L應(yīng)滿(mǎn)足的范圍是

2R

5μ

≤L＜

4R

5μ

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵抓住兩個(gè)臨界狀態(tài)，一個(gè)是恰好與彈簧接觸，一個(gè)是反彈后恰好運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)，結(jié)合動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律進(jìn)行求解．