Question

20．評述題
如圖所示，水流在管截面為S的水管中以速率v斜向沖入水槽AB中．水槽AB水平放置，且兩端口A和B均敞開．水管與水槽成θ角．設水流沖入水槽時，不存在濺出槽外的現象．求水在槽口呈穩(wěn)定排放時，水槽兩端A和B排出水的質量之比．
以下是某同學的解題思路與解題過程：
（1）解題思路
①設時間t內從水管中流出水的質量為M，則M=ρV=ρSvt，
②又設在時間t內由槽口A流出水的質量為M_A，槽口B流出水的質量為M_B，當水垂直沖入水槽時，M_A=M_B=$\frac{M}{2}$，
③本題水管中水流可等價地分成水平流向和垂直流向，水的流速v可以分解成水平和垂直兩個水流分速，水平水流速v₁=vcosθ，垂直水流速v₂=vsinθ，因此水管中水平方向流出水量為ρSvtcosθ，垂直方向流出水量為ρSvtsinθ．
（2）解題過程：基于以上分析，該同學題解如下：
設時間t內從水管中流出水的質量為M=ρSvt，可等效分成垂直水流量ρSvtsinθ和水平水流量ρSvtcosθ．
因此，槽A端水流出量M_A=ρSvtcosθ+$\frac{1}{2}$ρSvtsinθ=ρSvt（cosθ+$\frac{1}{2}$sinθ），槽B端水流出量M_B=$\frac{1}{2}$ρSvtsinθ．
穩(wěn)定排放時，水槽A、B兩端水排出量之比$\frac{{M}_{A}}{{M}_{B}}$=ρSvt（cosθ+$\frac{1}{2}$sinθ）：$\frac{1}{2}$ρSvtsinθ=1+2cotθ．
檢驗：當θ→0時，$\frac{{M}_{A}}{{M}_{B}}$→∞，全部由A槽口流出，θ=$\frac{π}{2}$時，$\frac{{M}_{A}}{{M}_{B}}$=1，水槽A、B兩端水等量地分別流出．均符合問題情景．故題解$\frac{{M}_{A}}{{M}_{B}}$=1+2cotθ正確．
針對上述解題思路與題解，請你進行評述：
該同學的題解是否正確？若不正確，請分析原因，并給出你的題解過程和結論．

Answer 1

分析 分析該同學的解法，明確在分解水流時水的總量是不變的，并且水平分量的水全部流向A，豎直分量的水AB各占一半； 則只要根據運動的合成與分解分析水平和豎直分量即可求解．

解答 解：該同學解錯，錯在水流分解為水平與垂直方向時要滿足水量守恒．
設時間t內從水管中流出水的質量為：M=ρSvt，
把水流分解為水平與垂直兩部分，垂直部分流出水的質量為：M₁=ρS⊥vtsinθ=ρSvtsin²θ，
水平部分流出水的質量為：M₂=ρSvtcos²θ，
槽A端水流出量為：M_A=ρSvtcos²θ+$\frac{1}{2}$ρSvtsin²θ，
槽B端水流出量為：M_B=$\frac{1}{2}$ρSvtsin²θ，
質量之比為：$\frac{{M}_{A}}{{M}_{B}}$=1+2cot²θ，
答：不正確，錯在水流分解為水平與垂直方向時要滿足水量守恒．過程見解析過程．

點評 本題考查矢量的合成和分解規(guī)律，要注意明確水流的分配情況，注意在水流出過程中，由管子進入的水的總量不變是解題的關鍵，同時要掌握運動的合成與分解的正確應用．