Question

15．下暴雨時(shí)，有時(shí)會(huì)發(fā)生山體滑坡或泥石流等地質(zhì)災(zāi)害．某地有一傾角為θ=37°（sin37°=$\frac{3}{5}$）的山坡C，上面有一質(zhì)量為m的石板B，其上下表面與斜坡平行；B上有一碎石堆A（含有大量泥土），A和B均處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖所示．假設(shè)某次暴雨中，A浸透雨水后總質(zhì)量也為m（可視為質(zhì)量不變的滑塊），在極短時(shí)間內(nèi)，A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁減小為$\frac{3}{8}$，B、C間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂減小為0.5，A、B開始運(yùn)動(dòng)，此時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)；在第3s末，C的上表面突然變?yōu)楣饣�，�?SUB>1保持不變．已知A開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，A離B下邊緣的距離l=27m，C足夠長，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力．取重力加速度大小g=10m/s²．求：
（1）在第3s末時(shí)A和B的速度大��；
（2）判斷A能否滑離石板B？若能請(qǐng)求出A在B上運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間；若不能請(qǐng)求出A距B上端的最大距離．

Answer 1

分析 （1）對(duì)A、B分別用于牛頓第二定律可以求出其加速度，應(yīng)用速度公式求出受到．
（2）用于牛頓第二定律求出其加速度，然后應(yīng)用位移公式求出位移，根據(jù)兩者位移之差與石板長度的關(guān)系判斷A是否滑離B，然后分析答題．

解答 解：（1）在0～3s時(shí)間內(nèi)，A和B的受力如圖所示，其中f₁、N₁是A與B之間的摩擦力和正壓力的大小，
f₂、N₂是B與C之間的摩擦力和正壓力的大小，方向如圖所示．由滑動(dòng)摩擦力公式和力的平衡條件得：
f₁=μ₁N₁，
N₁=mgcosθ，
f₂=μ₂N₂，
N₂=N₁+mgcosθ，
規(guī)定沿斜面向下為正．設(shè)A和B的加速度分別為a₁和a₂，
由牛頓第二定律得：mgsinθ-f₁=ma₁，
mgsinθ-f₂+f₁=ma₂，
代入數(shù)據(jù)解得：a₁=3m/s²，a₂=1m/s²，
在t₁=3s時(shí)，設(shè)A和B的速度分別為v₁和v₂，則有：
v₁=a₁t₁=3×3=9m/s，
v₂=a₂t₂=1×3=3m/s；
（2）3s后，設(shè)A和B的加速度分別為a?₁和a?₂．此時(shí)B與C之間摩擦力為零，由滑動(dòng)摩擦力公式和力的平衡條件得：
f₁=μ₁N₁，N₁=mgcosθ，N₂=N₁+mgcosθ，
規(guī)定沿斜面向下為正．設(shè)A和B的加速度分別為a₁和a₂，
由牛頓第二定律得：mgsinθ-f₁=ma₁′，
mgsinθ+f₁=ma₂′，
代入數(shù)據(jù)解得：a₁′=3m/s²，a₂′=9m/s²，
即A、B分別做加速運(yùn)動(dòng)．設(shè)經(jīng)過時(shí)間t₂，A、B的共同速度為v，
則有：v₁+a₁?t₂=v₂+a₂?t₂，
代入數(shù)據(jù)解得：t₂=1s，
在t₁+t₂時(shí)間內(nèi)，A相對(duì)于B運(yùn)動(dòng)的距離為：
s=（$\frac{1}{2}$a₁t₁²+v₁t₂+$\frac{1}{2}$a₁′t₂²）-（$\frac{1}{2}$a₂t₁²+v₂t₂+$\frac{1}{2}$a₂′t₂²），
解得：s=12m＜27m，
此后A、B相對(duì)靜止一起做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，
A不會(huì)滑離石板B，A距石板B上端最大距離為12m．
答：（1）在第3s末時(shí)A和B的速度大小分別是9m/s、3m/s、；
（2）A不會(huì)滑離石板B，A距B上端的最大距離為12m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了多體多過程問題，物體運(yùn)動(dòng)過程復(fù)雜，本題難度較大；分析其清楚物體運(yùn)動(dòng)過程與受力情況是解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可以解題．