Question

3．2016 年 10 月 19 日凌晨“神舟十一號”飛船與“天宮二號”成功實施自動交會對接．如圖所示，已知“神舟十一號”“天宮二號”對接后，組合體在時間 t 內沿圓周軌道繞地球轉過的角度為θ，組合體軌道半徑為 r，地球表面重力加速度為 g，引力常量為 G，不考慮地球自轉．則（　　）

• A． 可求出地球的質量
• B． 可求出地球的平均密度
• C． 可求出組合體的做圓周運動的線速度
• D． 可求出組合體受到地球的萬有引力

Answer 1

分析 根據(jù)物體的重力等于地球的萬有引力，列式求解地球的質量，由質量與體積之比求解地球的密度ρ，根據(jù)萬有引力提供向心力求出線速度．

解答 解：組合體在時間 t 內沿圓周軌道繞地球轉過的角度為θ，則角速度：$ω=\frac{θ}{t}$；
A、萬有引力提供組合體的向心力，則：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m{ω}^{2}r$
所以：M=$\frac{{ω}^{3}{r}^{2}}{G}$=$\frac{{θ}^{3}{r}^{2}}{{t}^{3}G}$      ①．故A正確；
B、不考慮地球的自轉時，組合體在地球表面的重力等于地球對組合體的萬有引力，則得：
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得：${R}^{2}=\frac{GM}{g}$
地球的密度為：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$=$\frac{3\sqrt{{g}^{3}}}{4πG\sqrt{GM}}$．代入①即可求出平均密度．故B正確；
C、根據(jù)線速度與角速度的關系v=ωr可知：v=$\frac{θr}{t}$．故C正確；
D、由于不知道組合體的質量，所以不能求出組合體受到的萬有引力．故D錯誤．
故選：ABC

點評 該題關鍵抓住在地球表面萬有引力等于重力和密度公式，得到的g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，常常稱為黃金代換式．