Question

（2012?莆田模擬）某行星的半徑為R₁、自轉(zhuǎn)周期為T₁，它有一顆衛(wèi)星，繞行星公轉(zhuǎn)的軌道半徑為R₂、公轉(zhuǎn)周期為T₂．萬有引力常量為G．求：
（l）該行星的質(zhì)量M；
（2）要在此行星的赤道上發(fā)射一顆質(zhì)量為m的靠近行星表面繞行的人造衛(wèi)星，使其軌道平面與行星的赤道平面重合，設(shè)行星上無氣體阻力，那么對人造衛(wèi)星至少應(yīng)做多少功？

Answer 1

分析：根據(jù)萬有引力提供衛(wèi)星圓周運動的向心力可以列式求出行星的質(zhì)量M；在赤道上發(fā)射近地衛(wèi)星，同樣根據(jù)萬有引力提供向心力求出衛(wèi)星的發(fā)射速度，再根據(jù)動能定理求出發(fā)射衛(wèi)星過程中所做的功．

解答：解：（1）衛(wèi)星與行星之間的萬有引力提供衛(wèi)星繞行星作勻速圓周運動的向心力，設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，則有：
G

mM

R 2 2

=mR2

4π2

T2

可得行星的質(zhì)量M=

4π2 R 3 2

G T 2 2

（2）質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在靠近行星表面繞行時，可認(rèn)為其軌道半徑為R₁，設(shè)繞行速度為v，由萬有引力提供向心力有：
G

mM

R 2 1

=m

v2

R1

該人造地球衛(wèi)星在此行星赤道上隨行星一起自轉(zhuǎn)的速度：
v0=

2πR1

T1

發(fā)射衛(wèi)星時至少應(yīng)對它做的功為W，由動能定理得：
發(fā)射過程對衛(wèi)星做的功等于衛(wèi)星動能的變化即：
W=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

∴可得：W=

2mπ2 R 3 2

T 2 2 R1

-

2mπ2R12

T 2 1

答：（l）該行星的質(zhì)量M=

4π2 R 2 2

G T 2 2

；
（2）要在此行星的赤道上發(fā)射一顆質(zhì)量為m的靠近行星表面繞行的人造衛(wèi)星，使其軌道平面與行星的赤道平面重合，設(shè)行星上無氣體阻力，那么對人造衛(wèi)星至少應(yīng)做功為：
W=

2mπ2 R 3 2

T 2 2 R1

-

2mπ2R12

T 2 1

．

點評：解決問題的關(guān)鍵是萬有引力提供圓周運動的向心力，另要知道相對地面的靜止的物體是有和自轉(zhuǎn)速度相同的初速度的這一點是解決本題第二問的關(guān)鍵．