Question

（2013?黃岡一模）我國(guó)的“嫦娥三號(hào)”探月衛(wèi)星將實(shí)現(xiàn)“月面軟著陸”，該過(guò)程的最后階段是：著陸器離月面h高時(shí)速度減小為零，為防止發(fā)動(dòng)機(jī)將月面上的塵埃吹起，此時(shí)要關(guān)掉所有的發(fā)動(dòng)機(jī)，讓著陸器自由下落著陸．已知地球質(zhì)量是月球質(zhì)量的81倍，地球半徑是月球半徑的4倍，地球半徑

R

0

=6.4×1

0

6

m，地球表面的重力加速度

g

0

=10 m/

s

2

．不計(jì)月球自轉(zhuǎn)的影響（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）．
（1）若題中h=3.2m，求著陸器落到月面時(shí)的速度大小；
（2）由于引力的作用，月球引力范圍內(nèi)的物體具有引力勢(shì)能．理論證明，若取離月心無(wú)窮遠(yuǎn)處為引力勢(shì)能的零勢(shì)點(diǎn)，距離月心為r的物體的引力勢(shì)能

E

p

=-G

Mm

r

，式中G為萬(wàn)有引力常數(shù)，M為月球的質(zhì)量，m為物體的質(zhì)量．求著陸器僅依靠慣性從月球表面脫離月球引力范圍所需的最小速度．

Answer 1

分析：（1）著陸器做近似地球表面的自由落體運(yùn)動(dòng)，由自由落體規(guī)律求解著地速度
（2）著陸器僅依靠慣性從月球表面脫離月球引力范圍，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解初速度

解答：解：（1）著陸器做近似地球表面的自由落體運(yùn)動(dòng)，設(shè)著陸器落到月面時(shí)的速度大小為v，月球表面物體自由下落加速度為g，故：
v²=2gh①
設(shè)月球質(zhì)量為M，半徑為R，忽略月球自轉(zhuǎn)，在月球表面附近質(zhì)量為m的物體滿足：

GMm

R2

=mg②
同理，設(shè)地球質(zhì)量為M₀，半徑為R₀，有：

GM0m

R 2 0

=mg0③
由①②③整理得，v=

2g0h MR 2 0 M0R2

=

2×10×3.2× 1×42 81×12

m/s=3.56m/s
設(shè)著陸器至少以速度v₀起飛方可沖出月球引力場(chǎng)，則由能量關(guān)系得：

1

2

mv

2 0

-

GMm

R

=0
由①②④并代入數(shù)據(jù)得：v₀=2.5×10³m/s
答：（1）著陸器落到月面時(shí)的速度大小為3.56m/s
（2）著陸器僅依靠慣性從月球表面脫離月球引力范圍所需的最小速度為2.5×10³m/s

點(diǎn)評(píng)：在月球表面的運(yùn)動(dòng)類(lèi)比地球表面的自由落體運(yùn)動(dòng)，對(duì)于只有保守力做功的情形，注意題應(yīng)用守恒的觀點(diǎn)解決問(wèn)題