Question

如圖所示，足夠長(zhǎng)光滑水平軌道與半徑為R的光滑四分之一圓弧軌道相切．現(xiàn)從圓弧軌道的最高點(diǎn)由靜止釋放一質(zhì)量為m的彈性小球A，當(dāng)A球剛好運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道的最低點(diǎn)時(shí)，與靜止在該點(diǎn)的另一彈性小球B發(fā)生沒有機(jī)械能損失的碰撞．已知B球的質(zhì)量是A球質(zhì)量的k倍，且兩球均可看成質(zhì)點(diǎn)．
（1）若碰撞結(jié)束的瞬間，A球?qū)�圓弧軌道最低點(diǎn)壓力剛好等于碰前其壓力的一半，求k的可能取值：
（2）若k已知且等于某一適當(dāng)?shù)闹禃r(shí)，A、B兩球在水平軌道上經(jīng)過多次沒有機(jī)械能損失的碰撞后，最終恰好以相同的速度沿水平軌道運(yùn)動(dòng)．求此種情況下最后一次碰撞A球?qū)�B球的沖量．

Answer 1

分析：（1）小球A沿圓弧滾下過程機(jī)械能守恒，受到的重力和支持力的合力提供向心力；碰撞過程系統(tǒng)機(jī)械能守恒，同時(shí)系統(tǒng)動(dòng)量守恒，小球A、B受到的重力和支持力的合力均提供向心力；
（2）對(duì)碰撞過程運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式，同時(shí)根據(jù)結(jié)合動(dòng)量守恒定律列式，求出碰撞前后的速度，最后根據(jù)動(dòng)量定理球最后一次碰撞A球?qū)�B球的沖量．

解答：解：（1）設(shè)A球到達(dá)圓弧軌道最低點(diǎn)時(shí)速度為v₀，則由機(jī)械能守恒定律，有：

1

2

m

v

2 0

=mgR…（1）
設(shè)此時(shí)A球?qū)�軌道壓力為N，則：
N-mg=m

v 2 0

R

…（2）
設(shè)碰撞后A球的速度大小為v₁，對(duì)軌道的壓力為N₁，B球的速度為v₂，則由動(dòng)量守恒定律，有：
mv₀=kmv₂±m(xù)v₁…（3）
機(jī)械能守恒，有

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

km

v

2 2

…（4）
碰撞后，在最低點(diǎn)，有
N1-mg=m

v 2 1

R

…（5）
根據(jù)已知條件，有
N1=

1

2

N…（6）
代入數(shù)值解上述方程組可得：
k=3 或k=

1

3

…（7）
即若碰撞結(jié)束的瞬間，A球?qū)�圓弧軌道最低點(diǎn)壓力剛好等于碰前其壓力的一半，求k為3或

1

3

．
（2）設(shè)最終兩球的速度大小為v，根據(jù)機(jī)械能守恒可得：
mgR=

1

2

m

v

2

+

1

2

kmv2…（8）
最后一次碰撞前A、B兩球的速度分別為v_A、v_B，則由機(jī)械能守恒和動(dòng)量守恒定律，得到：
mv_A+kmv_B=kmv-mv…（9）

1

2

m

v

2 A

+

1

2

km

v

2 B

=

1

2

m

v

2

+

1

2

km

v

2

…（10）
設(shè)最后一次碰撞A對(duì)B的沖量為I，根據(jù)動(dòng)量定理得：
I=kmv-km

v

B

…（11）
解上述方程組可得：I=

4km

k+1

2gR k+1

…（12）
故最后一次碰撞A球?qū)�B球的沖量為

4km

k+1

2gR k+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是碰撞前A球機(jī)械能守恒，碰撞過程兩球系統(tǒng)機(jī)械能守恒，動(dòng)量也守恒，同時(shí)根據(jù)動(dòng)量定理列式求解．