Question

13．如圖所示，有一半圓，其直徑水平與另一圓的底部相切于圓心O點(diǎn)，現(xiàn)有兩條光滑軌道AB、CD，兩軌道都經(jīng)過(guò)切點(diǎn)O，A、C、B、D分別位于上下兩圓的圓周上．現(xiàn)在讓一物塊先后從兩軌道頂端A、C由靜止下滑經(jīng)O點(diǎn)至底端B、D，則物塊在每一段傾斜軌道上滑動(dòng)時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間關(guān)系為（　�。�

• A． t_AO＜t_CO
• B． t_AO＞t_CO
• C． t_AB＞t_CD
• D． t_AB=t_CD

Answer 1

分析 根據(jù)幾何關(guān)系求出軌道的長(zhǎng)度，結(jié)合牛頓第二定律求出物塊下滑的加速度，根據(jù)位移時(shí)間公式求出物塊在滑動(dòng)時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間大小關(guān)系．

解答 解：AB、設(shè)AB與水平方向的夾角為θ，上邊的圓半徑為R，下面的半圓半徑為r，如圖所示：
對(duì)AO邊：由幾何關(guān)系可得AO=2Rsinθ，
物塊在AB上滑動(dòng)的加速度大小為a，根據(jù)牛頓第二定律可得：mgsinθ=ma，
解得：a=gsinθ；
根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系可得：2Rsinθ=$\frac{1}{2}a{t}_{AO}^{2}$
解得：t_AO=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$；
由此可知，從A、C到O下滑的時(shí)間與傾角無(wú)關(guān)，所以有：t_AO=t_CO，AB錯(cuò)誤；
CD、對(duì)AB邊：AB的長(zhǎng)度為L(zhǎng)=2Rsinθ+r，
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得：L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
解得：$t=\sqrt{\frac{2L}{a}}=\sqrt{\frac{4R}{g}+\frac{2r}{gsinθ}}$；
由圖可知，CD的傾角大于AB的傾角，傾角越大sinθ越大，則滑塊經(jīng)過(guò)的時(shí)間越短，
所以有：t_AB＞t_CD，C正確、D錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要是考查了“等時(shí)圓”的問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵通過(guò)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得出時(shí)間的表達(dá)式，結(jié)合角度的大小關(guān)系進(jìn)行比較．