Question

如圖所示：質(zhì)量為M=0.6kg的小沙箱，用長(zhǎng)為L(zhǎng)=1.60m的細(xì)線懸于空中某點(diǎn)，現(xiàn)用玩具手槍以v₀=10m/s速度從左向右向沙箱發(fā)射質(zhì)量m=0.2kg的子彈，假設(shè)沙箱每次在最低點(diǎn)時(shí)，就恰好有一顆子彈與沙箱迎面飛來，射入沙箱并留在其中，不計(jì)空氣阻力，細(xì)線能承受的拉力足夠大，子彈與沙箱的作用時(shí)間極短，取g=10m/s²，求解下列問題：
（1）第一顆子彈射入沙箱時(shí)，沙箱的速度是多大？此后沙箱能否作完整的圓周運(yùn)動(dòng)，試計(jì)算說明．
（2）對(duì)于第二顆子彈打入沙箱時(shí)沙箱速度的求解，有位同學(xué)作了如下的解法：設(shè)第二顆子彈打入沙箱后沙廂的速度為v₂，則由動(dòng)量守恒定律：2mv₀=（M+2m）v₂，故v2=

2mv0

M+2m

=

2×0.2×10

0.6+2×0.2

=4(m/s)．上述結(jié)果是否正確？若正確則說明理由，若錯(cuò)誤，求出正確的結(jié)果．
（3）第三顆子彈打入沙箱時(shí)，沙箱的速度為多少？
（4）停止射擊后，要使沙箱靜止在最低點(diǎn)，射入沙箱的子彈數(shù)目為n，則n應(yīng)取

C

A．只能n=2
B．n為任意奇數(shù)
C．n為任意偶數(shù)
D．不論n為多少，沙箱均不能靜止在最低點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）第一顆子彈射入沙箱時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出子彈射入沙箱后共同的速度．要使沙箱恰好到達(dá)最高點(diǎn)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的最小速度，由機(jī)械能守恒求出最低點(diǎn)的最小速度，即可判斷沙箱能否作完整的圓周運(yùn)動(dòng)．
（2）第二顆子彈打入沙箱時(shí)，沙箱有向左的速度，根據(jù)動(dòng)量守恒進(jìn)行分析．
（3）運(yùn)用動(dòng)量守恒定律列式求解第三顆子彈打入沙箱時(shí)沙箱的速度．
（4）運(yùn)用歸納法得出射入沙箱的子彈數(shù)目n．

解答：解：（1）設(shè)第一顆子彈射入沙箱時(shí)，沙箱的速度為v₁，此過程中系統(tǒng)動(dòng)量守恒．規(guī)定向右方向?yàn)檎�方向，則：
mv₀=（M+m）v₁
解得：v₁=2.5m/s．
若沙箱能作完整的圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)最高點(diǎn)的最小速度為v′，最低點(diǎn)的速度至少為v，則有：
在最高點(diǎn)，有mg=m

v′2

L

從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程中，由機(jī)械能守恒定律得：mg?2L+

1

2

mv′2=

1

2

mv2，
聯(lián)立解得：v=

5gL

=

80

m/s，
因?yàn)関₁＜v，所以此后沙箱不能作完整的圓周運(yùn)動(dòng)．
（2）不正確．第二顆子彈打入沙箱時(shí)，水箱有向左的水平速度．
正確的解法為：
設(shè)沙廂的速度為v₂，則由動(dòng)量守恒定律：mv₀-（M+m）v₁=（M+2m）v₂，v₂=0
（3）同第1小題，mv₀=（M+3m）v₃，v3=

m

M+3m

v0=

5

3

m/s
（4）同第2題，有：mv₀-（M+m）v₃=（M+3m）v₄，則得v₄=0，即第4顆子彈射入沙箱時(shí)速度為零，以此類推，可知，射入沙箱的子彈數(shù)目n為任意偶數(shù)時(shí)，沙箱靜止在最低點(diǎn)．故選C
答：
（1）第一顆子彈射入沙箱時(shí)，沙箱的速度是2.5m/s．此后沙箱不能作完整的圓周運(yùn)動(dòng)．
（2）不正確．第二顆子彈打入沙箱時(shí)，水箱有向左的水平速度．正確結(jié)果是0．
（3）第三顆子彈打入沙箱時(shí)，沙箱的速度為

5

3

m/s．
（4）C．

點(diǎn)評(píng)：本題是動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用問題，采用歸納法，逐次運(yùn)用動(dòng)量守恒列式計(jì)算并分析即可．