Question

如圖所示，在矩形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=5.0×10^-2T，矩形區(qū)域長為

2 3

5

m，寬為0.2m，在AD邊中點(diǎn)O處有一放射源，某時刻，放射源沿紙面向磁場中各方向均勻地輻射出速率均為v=2×l0⁶m/S的某種帶正電粒子，帶電粒子質(zhì)量m=1.6×10^-27kg．電荷量為q=+3.2×l0^-19C（不計(jì)粒子重力），求：
（1）帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑為多大？
（2）從BC邊界射出的粒子中，在磁場中運(yùn)動的最短時間為多少？
（3）若放射源向磁場內(nèi)共輻射出了N個粒子，求從CD邊界射出的粒子有多少個？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力列方程求解；
（2）所有粒子的運(yùn)動半徑相同，所以弦最短的圓弧所對應(yīng)的圓心角最小，運(yùn)動時間最短．
（3）與BC相切的即為從CD邊射出磁場的最上邊緣的粒子，從D點(diǎn)射出的為從CD邊射出的最下邊緣的粒子，求出從這兩點(diǎn)射出的粒子入射方向間的夾角，因?yàn)榉派湓聪虼艌鰞?nèi)各方向均勻地輻射粒子，所以能從CD邊射出的粒子數(shù)目為：n=

△θ

π

N．

解答：解：（1）洛倫茲力提供向心力：qvB=m

v2

R

得：R=

mv

qB

=0.2m
（2）因?yàn)樗�有粒子的軌跡半徑相同，所以弦最短的圓弧所對應(yīng)的圓心角最小，運(yùn)動時間最短．
作EO⊥AD，EO弦最短，

因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

.

EO

=0.2m，且R=0.2m
所以對應(yīng)的圓心角為θ=

π

3

又qvB=mR（

2π

T

）²
得：T=

2πm

qB

則最短時間為：t=

θm

qB

=

πm

3qB

=

π

3

×10^-7s
（3）判斷從O點(diǎn)哪些方向射入磁場的粒子將會從CD邊射出，如圖為兩個邊界，
當(dāng)速度方向滿足一定條件時，粒子將從D點(diǎn)射出磁場，

.

OD

=

3

5

m，且R=0.2m
由三角函數(shù)知識可知∠OO₂D=

2π

3

此時射入磁場的粒子速度方向與OD夾角為

π

3

，
當(dāng)軌跡圓與BC邊相切時，因?yàn)镽=0.2m，

.

CD

=0.2m，可知圓心O₁在AD邊上，
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

.

OO1

＜

.

OD

所以帶電粒子不可能通過C點(diǎn)，
與BC相切的即為從CD邊射出磁場的最上邊緣的粒子，
該粒子進(jìn)入磁場的速度方向垂直AD向上，與OD之間的夾角為

π

2

，
所以從CD邊射出的粒子，射入磁場時速度方向應(yīng)與OD邊夾角在

π

3

到

π

2

之間△θ=

π

6

的范圍內(nèi)，
因?yàn)榉派湓聪虼艌鰞?nèi)各方向均勻地輻射粒子，
所以能從CD邊射出的粒子數(shù)目為：
n=

△θ

π

N
即：n=

N

6

答：（1）帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑為0.2m；
（2）從BC邊界射出的粒子中，在磁場中運(yùn)動的最短時間為

π

3

×10^-7s；
（3）若放射源向磁場內(nèi)共輻射出了N個粒子，從CD邊界射出的粒子有

N

6

個．

點(diǎn)評：解決題目的關(guān)鍵是找出臨界情況，并畫出臨界情況下磁場中運(yùn)動的軌跡，確定邊界范圍，找到與之對應(yīng)的入射角及對應(yīng)的圓心角．